- π/2 < Ф < + π/2 donc 0 < cosФ ≤ 1 ; remplaçons Z par a + ib :
cos²Ф ( a+ib )² - 4 cosФ ( a+ib ) + 5 - cos²Ф = 0
cos²Ф ( a²-b² + 2abi ) - 4a cosФ - 4bi cosФ + 5 - cos²Ф = 0
cos²Ф ( a²-b² - 1 ) - 4a cosФ + 5 = 0 ET 2ab cos²Ф - 4b cosФ = 0
b ( a cosФ - 2 ) = 0
■ étudions le cas b = 0 :
cos²Ф ( a² - 1 ) - 4a cosФ + 5 = 0 --> cos²Ф a² - 4 cosФ a + 5 - cos²Ф = 0
--> discriminant Δ = 4cos²Ф (cos²Ф-1)
--> Δ ≥ 0 donne cos²Ф = 1 --> cosФ = 1
l' équation à résoudre devient alors :
a² - 4a + 5 - 1 = 0 --> a² - 4a + 4 = 0 --> a = 2 .
■ étudions le cas a cosФ = 2 :
2² - cos²Ф b² - 4 x 2 + 5 - cos²Ф = 0
4 - cos²Ф b² - 8 + 5 - cos²Ф = 0
- cos²Ф b² + 1 - cos²Ф = 0
cos²Ф b² = 1 - cos²Ф
b² = (1/cos²Ф) - 1
b = -√( 1/cos²Ф - 1 ) OU b = √( 1/cos²Ф - 1 )
■ ■ Les trois solutions sont donc :
Zo = 2 ( la solution double avec Ф = zéro ) ;
Z1 = (2/cosФ) - i √( 1/cos²Ф - 1 )
Z2 = la conjuguée de Z1 = (2/cosФ) + i √( 1/cos²Ф - 1 )
■ ■ ■ on peut prendre Ф = π/3 par exemple pour observer ce qui se passe :
0,5² Z² - 4 x 0,5 Z + 5 - 0,5² = 0 --> 0,25 Z² - 2 Z + 5 - 0,25 = 0
--> Z² - 8 Z + 19 = 0 --> solutions Z1 = 4 - i√3 et Z2 = 4 + i√3 .
■ ■ ■ on peut prendre Ф = 0 :
Z² - 4 Z + 5 - 1 = 0 --> Z² - 4 Z + 4 = 0 --> solution double Zo = 2 .
