Bonjour,
le volume de la boite vaut : V = πR²h
avec R rayon de la base et h hauteur du cylindre
La surface totale de la boite vaut :
Surface des 2 bases : 2 x πR²
Surface latérale : 2πR x h
Surface totale : S = 2πR² + 2πRh = 2πR(R + h)
On veut que V soit maximal avec S = constante k
V = πR²h et S = k
S = k ⇔ 2πR(R + h) = k ⇔ R(R + h) = k/2π
on va noter k/2π = k'
⇒ R² + Rh = k'
⇔ h = (k' - R²)/R = k'/R - R = k/2πR - R
On en déduit :
V = πR²h
= πR²(k' - R²)/R
= πR(k' - R²)
= πR(k/2π - R²)
= kR/2 - πR³
V est donc une fonction de R : V = f(R)
On cherche maintenant le maximum de f.
f'(R) = k/2 - 3πR²
f'(R) = 0 ⇒ R² = (k/2)/3π = k/6π ⇒ R = √(k/6π) = √(S/6π)
R 0 √(S/6π) +∞
f'(R) + 0 -
f(R) crois. décrois
Donc V = f(R) est maximum pour R = √(S/6π)
On a alors : V = πR²h = πSh/6π = Sh/6
on en déduit h :
h = k/2πR - R
= S/[2π√(S/6π)] - √(S/6π)
= 1/√(S/6π) x [S/2π - S/6π]
= 1/√(S/6π) x (2S/6π)
= 2S/√(S) x √(6π)/(6π)
= 2√(S) x 1/√(6π)
= 2 x √(S/6π)
= 2 x R
Il faut donc choisir, pour une surface donnée, une hauteur double du rayon.
Exemple : k = S = 100π cm²
R = √(100π/6π) = √(50/3) ≈ 4,1 cm
et h = S/2πR - R = 100π/(2π x 4,08) - 4,08 = 50/4,08 - 4,08 ≈ 8,2 cm
