Bonjour,
Ex 5)
Sachant que périmètre cercle = 2π * r et aire cercle = π*r²
longueur clôture = 100 mètres
1)
y = 100 - π*x et x = (y - 100)(-π) = (100 - y)/π
2)
Aire rectangle = xy
Aire 1/4 cercle = (1/4)*(π*x²) = (π*x²)/4
3)
Aire totale = Aire rectangle + 2 * Aire (1/4)cercle
Aire totale = xy + (π*x²)/2
4)
y = 100 - π*x
5)
Aire totale = x ( 100 - π*x) + ( π*x²)/2
= 100x - π*x² + (π*x²)/2
= (200x - 2πx² + πx²)/2
= 100x - (πx²)/2 ce qu'il fallait démontrer
6)
A(x) croissante sur [0 ; 100/π ] puis décroissante
7)
Puisque
A(x) = (-π/2)x² + 100x
L' aire sera maximale pour x = (-b/2a) = 100/π ≈ 31.83 mètres
A(31.83) ≈ 1591 m²
8) On demande que
A(x) = 1000
(-π/2)x² + 100x = 1000
(-π/2)x² + 100x - 1000 = 0
Δ = 10 000 - 2000π
deux solutions
x' = (100 - √Δ)/π ≈ 12.42 mètres arrondis au cm
x" = (100+√Δ)/π ≈ 51.24 mètres arrondis au cm
