Bonjour,
1) a) R(x) = x * N(x) (prix x nombre de clients)
= x * (-0,7x + 588)
= -0,7x² + 588x
b) C(x) = 10000 + 150N(x) (frais fixes + frais unitaire x nombre de paires donc nombre de clients)
= 10000 + 150(-0,7x + 588)
= -105x + 98200
c) B(x) = R(x) - C(x)
= -0,7x² + 588x + 105x - 98200
= -0,7x² + 693x - 98200
2) B(x) ≥ 0
⇔ -0,7x² + 693x - 98200 ≥ 0
Δ = 693² - 4x(-0,7)x(-98200) = 205 289
2 racines : x₁ = (-693 - √(205289))/2x(-0,7) ≈ 818,63
et x₂ = (-693 + √(205289)/2x(-0,7) ≈ 171,37
donc B(x) ≥ 0 pour x ∈ [171,37 ; 818,63]
3) a)
B(x) est un trinôme du second degré du type ax² + bx + c, avec a < 0.
Donc B est croissante, puis décroissante (parabole inversée). Le maximum est atteint pour x = -b/2a = -693/-1,4 = 495
x 150 495 800
B(x) crois. décrois.
b) B est maximum pour x = 495,00 €
4) B(x) = 67000
⇔ -0,7x² + 693x - 98200 = 67000
⇔ -0,7x² + 693x - 165200 = 0
Δ = 693² - 4x(-0,7)x(-165200) = 17689 = 133²
2 solutions : x = (-693 - 133)/-1,4 = 590
et x = (-693 + 133)/-1,4 = 400
Donc pour un prix de 400 € ou de 590 €, le bénéfice sera de 67000 €
