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résolu

Bonsoir, je suis en 2nde et j'ai bientôt une interro de maths, donc je refais quelques exercices, mais je bloque ici :

Soit a, b, c ∈ ℝ et soit ax² + 2bx - 2c = 0 une équation admettant deux solutions distinctes. Alors, la somme des inverses des carrés de ces solutions est [tex]\frac{b^{2}+ac}{c^{2} }[/tex]. Vrai ou faux ? Justifier.


Nous devons utiliser les formules de somme et produit d'équations d'une deuxième degré de type ax²+bx+c, à savoir :

S (somme) = -b/a

P (produit) = c/a


J'ai déjà le correctif de cet exercice mais il n'est pas complet (ici, x1 et x2 sont les 2 solutions de l'équation) : [tex]\frac{1}{x_{1}^{2} } +\frac{1}{x_{2}^{2}} =\frac{S^{2}-2P}{P^{2}} =\frac{b^{2}+ac}{c^{2}}[/tex]


Comment arrive-t-on à ce résultat ? Pouvez-vous me donner le raisonnement complet svp ? Merci beaucoup !!

Répondre :

JPMORIN3VIZ

Somme des inverses des carrés des racines                     x₁² x₂²  

1/x₁² + 1/x₂² = (x₁² + x₂² )/x₁² x₂² (on réduit au même dénominateur)

= (x₁² + x₂² + 2x₁² x₂² - 2x₁² x₂²)/x₁² x₂² (on ajoute et on enlève 2x₁² x₂² pour faire apparaître le carré de la somme

= [(x₁ + x₂)² - 2x₁² x₂²] / x₁² x₂² ici on a obtenu (S² - 2P)/P²

S = -b/a    P = c/a   on remplace

S² - 2P = (b²/a²) -2c/a) = b²/a² -2ac/a²

P² = c²/a²  

Quotient ( b²/a² -2ac/a²)/(c²/a²)  = (b² -2ac)/c²

voilà le résultat que je trouve : (b² -2ac)/c²

Ce n'est pas le résultat que tu donnes (b²+ ac)/c²

j'ai peut être fait ne étourderie.

N'empêche que je ne vois pas comment le -2 qui est devant P dans

(S² - 2P)/P²  peut disparaître


CATHERINEMIDYVIZ

Réponse :

J'ai procédé ainsi :

au lieu de ax² + bx + c, je note Ax² + Bx + C. Ainsi, 1/x1² + 1/x2² = (B² - 2AC)/C² (cf. la réponse de jpmorin3).

puis dans ax² + 2bx - 2c, j'identifie les coefficients, j'ai donc A = a, B = 2b et C = -2c. Ainsi, 1/x1² + 1/x2² = (B² - 2AC)/C² = ((2b)² - 2a*(-2c))/((-2c)²) = (4b² + 4ac)/(4c²), ce qui fait bien (b² + ac)/c² après avoir simplifié par 4 suite à la factorisation du numérateur par 4..

Explications étape par étape

Voilà, j'espère avoir été assez claire, compréhensive ; sinon n'hésite surtout pas à poser des questions..

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