Bonsoir
1. L'équation de la tangente à une courbe en un point d'abscisse A est donnée par la formule
y = f(a) +f'(a)×(x-a)
Pour x= -1
y = f(-1) +f'(-1)×( x+1)
On commence par chercher la dérivée de la fonction f
f' (x) = 3x² /3 + 2x/2 -2
f'(x) = x² + x -2
On doit ensuite calculer f(-1) et f' (-1)
f(-1)= (-1)³/3 + (-1)²/2 -2×(-1) +1
= -1/3 +1/2 +2 +1
= -2/6 +3/6 +12/6 +6/6
f(-1)= 19/6
Calculons ensuite f'(-1)
f'(-1) =(-1)²+(-1) -2
= 1 -3
f'(-1) = -2
L'équation de la tangente T au point d'abscisse -1 est
y = 19/6 -2( x+1)
y = -2x -2 +19/6
y= -2x +( 19-12)/6
y = -2x +7/6
2. Trouver les coordonnées des points qui admettent des tangentes horizontales ( cad parallèles à l'axe des abscisses)
Ces points seront des extremums (points où la dérivée s'annule)
f' (x) = x² +x -2
Cherchons les abscisses des points où f'(x) = 0
0 = ( x+1/2)² -1/4 -2→( équation que l'on transforme en équation produit =0)
0 = ( x+1/2)² -1/4-8/4
0 = ( x+1/2) -9/4→ 9/4 =( 3/2)² on a affaire à un produit remarquable a²-b²
0 = ( x+1/2 +3/2) ( x+1/2 -3/2)
0= ( x +4/2)( x-2/2)
0 = ( x+2) (x-1)
Deux solutions
x = -2 et x= 1
On calcule maintenant l'ordonnée de ces points
Si x= -2
f(-2) =(-2)³/3 + (-2)²/2 -2×(-2) +1
f(-2) = -8/3 -2 +4 +1
f(-2) = (-8 +9)/3
f(-2) = 1/3
A ( -2; 1/3)
Si x=1
f(1) = 1/3 +1/2 -2 +1=5/6 -1= 5/6-6/6 = -1/6
B ( 1; -1/6)
3. Coordonnées de C qui admet une tangente parallèle à T
la parallèle à la tangente T aura le même coefficient directeur qu'elle
cad -2
cette équation sera y = -2x +b
f' ( xC) = -2
-2 = x² +x -2
0 = x² +x
0= x( x+1)
Deux solutions x = 0 et x = -1
Pour x= -1 on a la tangente T
pour x= 0 et y = 1 on a le point
C ( 0; -1) dont la tangente est parallèle à T
