Bonjour,
Ex 2) P(x) = 2x³ + 5x² - x - 6
P(x) = (x+2)(ax² + bx + c) en développant on obtient
P(x) = ax³ + 2ax² + bx² + 2bx + cx + 2c on peut en déduire que
ax³ + (2a+b)x² + (2b+c)x + 2c = 2x³ + 5x² - x - 6
a = 2 ; (2a+b) = 5 ⇒ (4+b)=5 ⇒ b = 1 ; 2b+c = -1 ⇒ (2+c)=-1 ⇒ c = -3
P(x) = (x+2)(2x² + x - 3)
P(x) = 0 pour x+2 = 0 donc x = -2
pour 2x²+x-3 = 0 Δ = 25 x' = -3/2 ou x" = 1
P(x) = 0 Les solutions sont ( -2 ; -3/2 ; 1 )
P(x) < 0
tableau de signes
x -∞ -2 -3/2 1 +∞
(x+2) négatif 0 positif positif positif
(2x²+x-3) positif positif 0 négatif 0 positif
P(x) négatif 0 positif 0 négatif 0 positif
P(x) < 0 pour x ∈ ]-∞ ; -2 [ ∪ ]-3/2 ; 1 [
Ex 3) P(x) = x³ - mx² - 5x + 6
Si le polynôme est divisible par (x - 1) alors
P(x) = (x - 1)( ax² + bx + c) = ax³- ax²+ bx²- bx+ cx- c = ax³+(-a+b)x²+(-b+c)x - c
a = 1
(-a+b)=-m ⇒ b = -m + a ⇒ b = -m + 1
(-b + c) = -5 ⇒ c = -5+b = -5+(-m+1) ⇒ c = -m - 4
-c = 6 ⇒ c = -6 -6 = -m - 4
m = 2
P(x) = x³ - 2x² - 5x + 6 = (x - 1)(x² - x - 6)
Bonne journée
