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résolu

Bonjour pouvez vous m'aider svp je bloque

1. Soit la fonction f définie sur R par :
[tex]f(x) = x^{4} - 4x -1[/tex]
a. Etudier les limites de f aux infinis
b. Etudier les variations de f et dresser le tableau de variations complet
c. Montrer que l'équation [tex]f(x) = 0[/tex] admet deux solutions α et β sur R. Vérifier que β ∈ [tex][\frac{3}{2} ; 2][/tex]

2. β désigne toujours la solution dans [tex][\frac{3}{2} ; 2 ][/tex] de l'équation [tex]f(x) = 0[/tex]
a. Soit g([tex]g(x) = \frac{2x+1}{x^{2}\sqrt{4x+1} }[/tex]. Montrer que β est solution de l'équation [tex]g(x)= x[/tex]
b. Déduire de tout ce qui précède [tex]\frac{3}{2} \leq[/tex]β[tex]\leq \frac{2\sqrt{7} }{3}[/tex]

Répondre :

Réponse :

soit  f(x) = x⁴ - 4 x - 1

a) étudier les limites de f aux infinis

lim f(x) = lim (x⁴ - 4 x - 1) = + ∞ - ∞  forme indéterminée

x→ + ∞    x→ + ∞

Lorsqu'on est devant une indétermination ∞ - ∞; on procède à la factorisation du plus haut degré

x⁴ - 4 x - 1 = x⁴(1 - 4/x³ - 1/x⁴)

lim(x⁴ - 4 x - 1) = lim x⁴( 1 - 4/x³ - 1/x⁴) = + ∞  

x→+∞                  x→ + ∞

lim f(x) = lim (x⁴ - 4 x - 1) = + ∞

x → - ∞

b) étudier les variations de f et dresser le tableau de variation complet

cherchons la dérivée de la fonction f ⇒ f '(x) = 4 x³ - 4

f '(x) = 0 ⇒ 4(x³ - 1) = 0 ⇒ x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1) = 0 ⇒ x - 1 = 0 ⇒ x = 1

car x² + x + 1 > 0

signe de f '(x)

x       - ∞                            1                         + ∞

f '(x)                    -              0           +

f '(x) < 0 sur l'intervalle ]- ∞ ; 1] ⇒ f est strictement décroissante

f '(x) > 0 sur l'intervalle [1 ; + ∞[ ⇒ f est strictement croissante

tableau de variation de f

x      - ∞                          1                           + ∞

f(x)   + ∞ →→→→→→→→→→  - 1 →→→→→→→→→→→ + ∞

               décroissante        croissante


Explications étape par étape


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