Réponse : 1) Coordonnées d'un vecteur:
Si [tex]A(x_{A};y_{A})[/tex] et [tex]B(x_{B};y_{B})[/tex], alors les coordonnées du vecteur [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] sont [tex]\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{cc}x_{B}-x_{A}\\y_{B}-y_{A}\end{array}\right)[/tex].
Par exemple dans l'exercice [tex]\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{cc}8-3\\2-7\end{array}\right)[/tex], donc les coordonnées du vecteur [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] sont [tex]\left(\begin{array}{cc}5\\-5\end{array}\right)[/tex]
Soient [tex]x_{M}[/tex] l'abscisse du point [tex]M[/tex] et [tex]y_{M}[/tex] l'ordonnée du point [tex]M[/tex].
Alors les coordonnées du vecteur [tex]\overrightarrow{CM}[/tex] sont
[tex][tex]\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{cc} 5\\-5\end{array}\right)[/tex][/tex]
Le vecteur [tex]x\overrightarrow{u}[/tex] a pour coordonnées :
[tex]\left(\begin{array}{cc}2x\\5x\end{array}\right)[/tex]
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales, c'est à dire si leurs coordonnées en abscisse et ordonnée sont égales. On obtient un système de deux équations où l'on peut déterminer [tex]x_{M}[/tex] et [tex]y_{M}[/tex], c'est à dire les coordonnées du point [tex]M[/tex].
2) [tex]M \in (AB)[/tex] si il existe [tex]t \in \mathbb{R}[/tex], tel que [tex]\overrightarrow{AM}=t \overrightarrow{AB}[/tex].
On a [tex]\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{cc}5\\-5\end{array}\right)[/tex] et [tex]\overrightarrow{AM}\left(\begin{array}{cc}x_{M}-3\\y_{M}-7\end{array}\right)[/tex].
Ensuite, le fait que [tex]\overrightarrow{AM}=t \overrightarrow{AB}[/tex], donne un système de deux équations à deux inconnues [tex]x[/tex] et [tex]t[/tex], en disant que les coordonnées en [tex]x[/tex] et [tex]y[/tex] sont égales.
Il faut résoudre le système pour déterminer [tex]x[/tex] et [tex]t[/tex].
Explications étape par étape