Réponse :
Explications étape par étape
On va d'abord exprimer les 4 premières puissances de (a+b)
[tex](a \pm b)^1 = a \pm b\\(a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\\(a+b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3\\(a+b)^4 = a^4 \pm 4a^3b + 6a^2b^2 \pm 4ab^3 + b^4[/tex]
(Vérifie par toi-même -- j'ai regroupé (a+b) et (a-b) avec les signes"plus ou moins" Quand c'est -b, tu mets - et quand c'est °b, tu mets °)
Dans les calculs qui suivent, j'ai tout de suite simplifié les divisions de x par x
[tex]X=x+\frac{1}{x}\\ X^2 = x^2 + 2 +(\frac{1}{x})^2 \Rightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} = X^2 - 2\\X^3 = x^3 + 3x + \frac 3 x + \frac 1 {x^3} \Rightarrow x^3 + \frac{1}{x^3} = X^3 - 3X\\X^4 = x^4 + 4x^2 + 6 + \frac 4{x^2} +\frac 1{x^4}\Rightarrow x^4 + \frac{1}{x^4} = X^4 -4(x^2+\frac 1{x^2}) -6 = X^4 - 4X^2 +2\\[/tex]
[tex]Y = x-\frac{1}{x}\\ Y^2 =x^2 - 2 +(\frac{1}{x})^2 \Rightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} = Y^2 + 2\\Y^3 = x^3 - 3x + \frac 3 x - \frac 1 {x^3} \Rightarrow x^3 + \frac{1}{x^3} = Y^3 - 3Y\\Y^4 = x^4 - 4x^2 + 6 - \frac 4{x^2} +\frac 1{x^4}\Rightarrow x^4 + \frac{1}{x^4} = Y^4 -4(x^2+\frac 1{x^2}) -6 = Y^4 - 4Y^2 -14\\[/tex]
J'espère que je ne suis pas allé trop vite !
