Bonsoir !
Exercice 1:
1) Il s'agit d'appliquer l'algorithme A au chiffre 3.
Tu choisis donc 3.
Tu lui ajoutes 2: tu obtiens donc 3+2 = 5
Puis tu calcules le carré du résultat, c'est-à-dire: 5² = 25
Enfin, tu retranches 4 à ce résultat: 25-4 = 21
La réponse est donc 21.
2) Même raisonnement, mais avec l'algorithme B:
Tu choisis 3.
Tu calcules son carré: 3² = 9
Puis, tu ajoutes le quadruple de ton nombre initial, donc 9 + 3*4 = 9 + 12 = 21
La réponse est donc 21.
3) Je te laisse le soin de le vérifier, mais si tu essayes différents nombres de départ, tu obtiendras le même résultat en appliquant le programme A ou le programme B. Ta conjecture serait donc "Le programme A et le programme B donnent le même résultat". Démontrons ce résultat.
On prend x, et on lui applique A.
On lui ajoute 2: on a donc (x+2)
On élève alors au carré: on a (x+2)²
Enfin, on retranches 4: (x+2)² - 4
ce que tu peux écrire grâce aux identités remarquables: x² +4x + 4 - 4 = x² +4x
Le programme A renvoie donc x² + 4x
Puis, on prend x et on lui applique B
on élève au carré: x²
On ajoute alors 4 fois la valeur de départ: x² + 4x
Le programme B renvoie donc x² + 4x, soit la même valeur que le programme A: la conjecture est validée.
Exercice 2:
Il s'agit d'utiliser les identités remarquables ici.
Soit n un nombre entier. On a:
(n+1)² = n² + 2n + 1
(n-1)² = n² - 2n + 1
donc
(n+1)² - (n-1)² = n² + 2n + 1 - (n² - 2n + 1) = 4n, qui est bien un multiple de 4, d'où le résultat.
Exercice 3:
1) AB = 2x + 1, avec ici x = 3.
Donc AB = 2*3 + 1 = 7 cm
Pour AF, il s'agit d'une des diagonales du rectangle ABEF, avec AB = 7 et AE = 6. Donc, d'après Pytaghore: AF² = AB² + AE² = 7² + 6² = 49 + 36 = 85
donc AF = √85 cm (ce qui m'étonne un peu comme résultat, d'ailleurs)
2) L'aire d'un rectangle correspond à sa longueur multipliée par sa largeur. Sa longueur ici est la distance AB, et sa largeur la distance AE, donc finalement: Aire = 6*7 = 42 cm².
3) On constate que ED = AD - AE
donc ED = 2x + 1 - (x + 3)
ED = x -2
4) Comme pour la question 2, l'aire d'un rectangle est égale à la longueur fois la largeur. Ici, la largeur correspond à ED, la longueur à DC, d'où:
Aire = (x-2)*(2x+1)
5) Le carré ABCD est de côté (2x + 1), donc on sait que son aire vaut:
Aire = (2x + 1)²
Quant au rectangle ABEF, c'est comme tout à l'heure, avec une longueur de (2x + 1) et une largeur de (x + 3) donc
Aire = (2x+1)(x+3)
6) On constate que l'aire du rectangle EFCD est égale à l'aire du carré ABCD moins l'aire du rectangle ABEF, donc d'après les résultats de la question 5):
Aire = (2x+1)² - (2x+1)(x+3)
7) On constate que l'on passe d'une expression (celle de gauche) où les termes sont séparés par une soustraction, à une expression où il n'y a plus qu'un produit: il s'agit là d'une factorisation.
