Réponse :
si m<1 alors Cf et (d) n'ont aucun pt commun
si m=1 alors Cf et (d) ont un pt commun
si m>1 alors Cf et (d) ont 2 pts communs
Explications étape par étape
f(x)=e^x donc f'(x)=e^x
la tangente (d) en m=1 a pour équation : y=e^1.(x-1)+e^1
soit encore (d) : y=e.x
ainsi (d) et Cf ont un seul pt commun
soit 0<m<1 alors la droite Dm passant par O(0;0) et de pente m a por équation y=mx
soit g(x)=f(x)-mx=e^x-mx
étudions le signe de g :
g'(x)=e^x-m
g'(x)=0 donne e^x=m donc x=ln(m)
g'(x)>0 donne x>ln(m)
donc g est décroissante sur ]0;ln(m)[ et croissante sur ]ln(m);+inf[
0<m<1 donc ln(m)<0
ainsi d'après le th de la bijection l'équation g(x)=0 admet 2 solutions α et β avec 0<α<ln(m)<β<1
enfin si m>1 alors il est évident que Dm et Cf ne possède aucun pt d'intersection
