Bonjour;
Pour les questions 1 et 2 ; veuillez-voir le fichier ci-joint .
D'après la figure , on peut conjecturer qu'on a : M0(0 ; 1)
et BM ≈ 2,83 .
La droite (d) semble être la tangente à C au point d'abscisse 0 ;
3)
a)
On a : M(x ; exp(x)) et B(2 ; - 1) ; donc :
BM² = (x - 2)² + (exp(x) + 1)²
= x² - 4x + 4 + exp(2x) + 2exp(x) + 1
= x² - 4x + exp(2x) + 2exp(x) + 5 ;
donc : f(x) = x² - 4x + exp(2x) + 2exp(x) + 5 ;
donc : f ' (x) = 2x - 4 + 2exp(2x) + 2exp(x) ;
donc : f " (x) = 2 + 4exp(2x) + 2exp(x) .
On a : f ' (0) = 0 et f " (0) = 2 > 0 donc f admet
un minimum pour x = 0 ; donc f est strictement
décroissante sur ]-∞ ; 0[ et strictement croissante
sur ]0 ; + ∞ [ .
De plus , on a : M0(0 ; exp(0)) ; donc : M0(0 ; 1) .
b)
On a f(0) = 8 ; donc : BM0² = 8 ; donc : BM0 = √8 = 2√2 .
4)
On a (exp(x)) ' = exp(x) , donc Le coefficient directeur de la
tangente à C au point M0 est : exp(0) = 1 .
Le coefficient directeur de la droite (BM0) est :
(1 - (- 1))/(0 - 2) = 2/(- 2) = - 1 .
Comme les coefficients directeur de (BM0) et la tangente
à C au point M0 sont opposés , donc ces deux droites
sont perpendiculaires , donc la droite (d) est la tangente
à C au point M0 .
