1)
a) Si AB est un segment et I son milieu le vecteurs IA et IB sont opposés (même direction, même longueur, sens contraires)
Leur somme est nulle vect IA + vect IB = vect 0
b) ce sont des vecteurs mais je ne mets pas la flèches.
MI = MA+AI MI = MB + BI (relation de chasles)
j'additionne 2MI = MA + AI + MB + BI =
MA + MB + AI + BI =
MA + MB - (IA + IB) [IA + IB = 0 question a)]
2MI = MA + MB
MI = 1/2(MA+MB)
2)
a) on applique la relation précédente au point A et au segment BC
A' est le milieu de BC AA' = 1/2(AB+AC) de même
BB' = 1/2(BA+BC)
CC' = 1/2(CA+CB)
par addition membre à membre
AA' + BB' + CC' = 1/2(AB+AC) + 1/2(BA+BC) + 1/2(CA+CB)
= 1/2(AB + AC + BA + BC + CA + CB)
dans les parenthèses les vecteurs AB et BA sont opposés, leur somme est nulle. Il en est de même pour AC et CA, BC et CB.
La somme AA' + BB' + CC' = 1/2 vect.0
AA' + BB' + CC' = vect.0
c) soit G le centre de gravité du triangle ABC
on sait que GA = 2/3 A'A
GB = 2/3 B'B
GC = 2/3 C'C d'où
GA + GB + GC = 2/3 (A'A + B'B + C'C)
= -2/3 (AA' + BB' + CC')
d'après la question b) la somme entre parenthèses est égale au vect nul.
d'où GA + GB + GC = vecteur nul
