Les ensembles de nombres. Pour expliquer je ne considère que les nombres positifs car il n'y a aucun nombre négatif dans l'exercice.
Chacun des ensembles que je présente est inclus dans le suivant :
N ⊂ D ⊂ Q ⊂ R
N naturels 2 ; 8 ; 123
D décimaux ils comportent les naturels plus des nombres tels que
0,51 ; 2,321 ; 98,1234 qui s'écrivent avec un nombre limité de chiffres décimaux. On peut les écrire sous forme de fraction, le dénominateur étant 10 ou une puissance de 10.
0,51 = 51 / 100 ; 2,321 = 2321 / 1000 ; 98,1234 = 981234 / 10000
Q rationnels ce sont tous les nombres précédents plus ceux
qui s'écrivent sous forme de fractions (non décimales)
4/3 ; 2/37 ; 7 / 30
4/3 = 1,333333333... ; 2/37 = 0,054054054....
lorsqu'on divise le numérateur par le dénominateur la division ne se termine pas et l'on voit apparaître une répétition des décimales
R réels ce sont tous les nombres précédents plus ceux que l'on appelle irrationnels. Ils s'écrivent avec des signes particuliers
exemples : π, √2
si l'on veut écrire un irrationnel sous forme de nombre à virgule la liste des chiffres décimaux est illimitée et contrairement aux rationnels il n'y a pas de période
π = 3,14159265359...
je te conseille de bien comprendre cette classification, ce n'est pas difficile et parfois bien utile.
exercice1
(1/√5)² = 1/5 = 2/10 = 0,2
0,2 est un réel, c'est aussi un rationnel, et encore un décimal.
On demande le plus petit ensemble auquel il appartient, la réponse est D ensemble des décimaux
1/3 + 4/5 = 8/15 8/15 ⋲ Q
(2√3) / √12 = 2√3 / 2√3 = 1 1 ⋲ N
[(√2+1)(√2-1)]/2 = (2-1)/2 ) = 1/2 1/2 ⋲ D
exercice2
[-1;π] U ]√2;5[
-1 √2 π 5
_____[______0_____1__]___2______3_]_____4______[_____
la réunion des ces ensembles comporte tous les nombres de -1 à 5
-1 est compris, 5 est exclu, √2 est exclu du deuxième intervalle mais il appartient au premier
réponse [-1 ; 5[
]-2 ; 8] ∩ ]-∞ ; 3[
_____-2____0______3__________8___________
] /////////////////////////////////////////// ]
///////////////////////////////////////[
partie commune et réponse ]-2 ; 3[
]-∞ ; -√3] ∩ [-√3 ; +∞[
le seul élément commun à ces deux ensembles est -√3
pour le dernier la réponse est R - {1}.
