Réponse :
calculer les 3 premiers termes de la suite puis le 8 ème terme de la suite
a) pour tout n ≥ 0 Un+1 = Un + n - 1 et U0 = 2
U1 = U0 + 0 - 1 = 2 - 1 = 1
U2 = U1 + 1 - 1 = U1 = 1
U3 = U2 + 2 - 1 = 1+1 = 2
U4 = U3 + 3 - 1 = 2+2 = 4
U5 = U4 + 4-1 = 4 + 3 = 7
U6 = U5 + 5 - 1 = 7 + 4 = 11
U7 = U6 + 6 - 1 = 11 + 5 = 16
U8 = U7 + 7 - 1 = 16+6 = 22
b) pour tout n ≥ 0 Un+1 = - 2 x Un et U0 = - 1
U1 = - 2 x U0 = - 2 x (- 1) = 2
U2 = - 2 x U1 = - 2 x 2 = - 4
U3 = - 2 x U2 = - 2 x (- 4) = 8
on sait que Un+1 = - 2 x Un est une suite géométrique de raison q = - 2
et de premier terme U0 = - 1
on peut écrire Un = U0 x qⁿ = - 1 x (- 2)ⁿ
U8 = - 1 x (- 2)⁸ = - 256
c) pour tout n ≥ 0 : Un = 3 - 2n c'est une suite arithmétique de raison r = - 2
et de premier terme U0 = 3
U1 = 3-2 = 1
U2 = 3 - 4 = - 1
U3 = 3 - 6 = - 3
U8 = 3 - 2 x 8 = 3 - 16= - 13
d) pour tout n ≥ 0: Un = n² - 1
U0 = - 1
U1 = 0
U2 = 3
U3 = 8
U8 = 64 - 1 = 63
e) pour tout n ≥ 0 : Un = 25 x 0.1ⁿ est une suite géométrique de raison q = 0.1 et de premier terme U0 = 25
U1 = 2.5
U2 = 0.25
U3 = 0.025
U8 = 25 x 0.1⁸ = 0.00000025
f) pour tout n ≥ 0 : Un = 3n + 0.5 est une suite arithmétique de raison r = 3 et de premier terme U0 = 0.5
U1 = 3.5
U2 = 6.5
U3 = 9.5
U8 = 24.5
2) étudier le sens de variation de chacune des suites ci-dessus
a) on remarque que Un augmente lorsque n augmente ⇒ Un est une suite croissante sur N
b) q = - 2 < 0 et U0 = - 1 < 0 ⇒ les termes changent alternativement donc la suite n'est ni croissante ni décroissante
c) la raison r de la suite arithmétique est égale à - 2 < 0 ⇒ (Un) est décroissante sur N
d) Un+1 - Un = (n+1)² - 1 - n²+1 = n²+ 2n + 1 - 1 - n² + 1 = 2 n + 1 or n ≥ 0
⇒ 2 n + 1 > 0 ⇒ Un+1 > Un ⇒ (Un) est strictement croissante sur R
e) 0 < q ≤ 1 ⇒ (Un) est strictement décroissante sur N
f) r = 3 > 0 ⇒ (Un) est strictement croissante
Explications étape par étape
