Hello! J’ai un DM de maths pour lundi et je suis bloquée à la question 2b) Merci d’avance pour toute aide.

Pour déterminer des valeurs approchées de racines carées de nombres entiers (√5 dans l’exemple ci- dessous), les Babyloniens (2000 ans av.JC) utilisaient la méthode suivante.

On part d'un nombre simple supérieur à l’irrationnel éradiée, soit par exemple u(0)=-3 et on construit une suite (u(n)) déterminée par la relation de récurrence: U(n+1)=(1/2)*(u(n)+[tex]\frac{5}{u(n)}[/tex])

Une autre suite (v(n)) est définie pour tout entier naturel n par v(n)= 5/u(n)


I- Etude de la suite (u(n))

1. On considère la fonction numérique f sur ]0,+∞[ par: f(x)= (1/2)*(x+(5/x))

a. Montrer que pour tout réel x strictement positif: f(x)-f(√5)= (x-√5)^2/2x

Ca c’est bon j’ai trouvé: j’ai développé puis réduis et trouvé le bon résultat.

b. En déduire que f admet un minimum sur ]0,+∞[ égal à √5 pour x = √5

Ca aussi c’est bon: j’ai utilisé le discriminant sur la forme développée de (x-√5)^2 pour l’abscisse et f(√5) pour l’ordonnée et ça marche.

c. En déduire que (u(n)) est minorée par √5

J’ai utilisé la logique: f admet un minimum (√5; √5) donc (u(n)) minorée par √5


2a. Montrer que pour tout réel x strictement positif: f(x)-x=(5-x)^2/2x

De meme que 1a), développer puis réduire.

b. En déduire que pour tout réel x supérieur ou égal à √5, on a: f(x) inférieur ou égal à x

Et c’est la que je suis bloquée.

c. En déduire que (u(n)) est décroissante


II- Etude de la suite (v(n))

En utilisant les résultats démontrés en I, démontrer que (v(n)) est majorée par √5 et que (v(n)) est croissante.


III- Conclusion

Expliquer comment à l' aide des suites (u(n)) et (v(n)) précédentes obtenir des encadrements de √5.


Donc voilà merci d’avance pour toute aide!