Réponse :
c' est en 2010 + 28 = 2038 qu' on aura 200 000 hab
Explications étape par étape :
■ f(x) = a / ( 1 + b exp(-0,05x) )
■ la Limite de 300 000 habitants donne a = 300 000 .
■ f(0) = 300 000 / ( 1 + b ) = 100 000 donne b = 2 .
■ on a donc f(x) = 300 000 / ( 1 + 2 exp(-0,05x) ) .
■ dérivons :
f ' (x) = - 300 000 * 2 * (-0,05) * exp(-0,05x) / (1+2exp(-0,05x))²
= 30 000 * exp(-0,05x) / (1+2exp(-0,05x))²
toujours positive ! --> Population toujours croissante .
■ résolvons : 300000/(1+2exp(-0,05x)) = 200000
1+2exp(-0,05x) = 1,5
2exp(-0,05x) = 0,5
exp(-0,05x) = 0,25
-0,05x = Ln0,25
-0,05x ≈ -1,3863
x ≈ 27,7
on va retenir x = 28 .
■ conclusion :
c' est en 2010 + 28 = 2038 qu' on aura 200 000 hab !
■ vérif : f(28) = 300000/(1+2exp(-1,4)) = 300000/1,4932
≈ 200912 habitants !
