Réponse :
Explications étape par étape
1) Sans beaucoup de détails
a)
f(x) = (-1/4)x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 4x +1
f'(x) = -x³ + 9x² - 4x
b)
[tex]f(x)=\frac{x^2-2x+3}{4-x}[/tex]
de la forme u/v ==> (u/v)' = (u'v-uv')/v²
[tex]f(x)=\frac{x^2-2x+3}{4-x}\\u=x^2-2x+3\quad\quad u'=2x-2\\v=4-x\quad\quad\quad v'=-1\\f'(x)=\frac{(-2x^2+10x-8)-(-1)(x^2-2x+3)}{(4-x)^2}\\f'(x)=\frac{(-x^2+8x-5)}{(4-x)^2}[/tex]
c)
[tex]f(x) = 2x - 1 +\frac{1}{3-x}\\f'(x)=2+\frac{1}{(3-x)^2}[/tex]
2)
En un point de la courbe de coordonnées (a ; f(a)), l'équation de la tangente est : y=f'(a)(x-a)+f(a)
2.1)
[tex]f(x)=\frac{x+3}{1-2x} \\u=x+3\quad\quad u'=1\\v=1-2x\quad\quad v'=-2\\f'(x)=\frac{(1-2x)-(-2x-6)}{(1-2x)^2} \\f'(x)=\frac{7}{(1-2x)^2} \\\\a=-1\\f(a)=f(-1)=\frac{2}{3}\\f'(-1)=\frac{7}{9} \\\\y=\frac{7}{9}(x-(-1))+\frac{2}{3} = \frac{7x}{9}+\frac{7}{9} +\frac{6}{9} \\\\y=\frac{7}{9}x+\frac{13}{9}\\[/tex]
2.2)
rappel : f(x) = u'x).v(x) ==> f'(x)=u'(x).v(x)+u(x).v'(x)
[tex]f(x)=(4x+8)\sqrt x\\u=4x+8\quad\quad u'=4\\v=\sqrt x\quad\quad v'=\frac{1}{2\sqrt x} \\f'(x)=4\sqrt x + \frac{2x+4}{\sqrt x}\\\\a=4\\f(a)=f'(4)=48\\f'(a)=f'(4)=14\\\\y=14(x-4)+48\\\\y=14x-8\\[/tex]
3)
f(x)=-2x²+4x-3
f'(x)=-4x+4
La dérivée s'annule pour x=1, positive (fonction croissante) pour x < 1, négative (fonction décroissante) pour x > 1
donc un maximum en x=1 avec f(1) = -1
4)
4.1)
[tex]f(x)=x^4-4x^3+5x^2-4x+1\\f'(x)=4x^3-12x^2+10x-4\\f''(x)=12x^2-24x+10\\[/tex]
4.2)
[tex]f''(x)=12x^2-24x+10\\\Delta=24^2-480=96 = 16\times6=4^2\times6\\\text{2 racines : }x_1=\frac{24-4\sqrt 6}{24} = \frac{6-\sqrt 6}{6} \text{ et }x_2=\frac{6+\sqrt 6}{6}\\[/tex]
[tex]x_1\approx0,6\\x_2\approx1,4\\[/tex]
f''(x) > 0 (donc f'(x) croissante) en dehors des racines
f''(x) <0 (donc f'(x) décroissante) entre les racines
4.3)
f'(2)=32-48+20-4=0
4.4) A vérifier (comme les calculs qui précèdent)
si x > 2, f'(x) >0 ==> f(x) est croissante
si x < 2, f'(x) <0 ==> f(x) est décroissante
