Réponse : 1) [tex]u_{1}=0,90 \times 500+200=450+200=650\\u_{2}=0,90 \times 650+200=585+200=785[/tex].
2) [tex]u_{n+1}=\left(1-\frac{10}{100} \right)u_{n}+200=0,90u_{n}+200[/tex].
3) [tex]v_{n+1}=u_{n+1}-2000=0,90u_{n}+200-2000=0,90u_{n}-1800=0,90 (u_{n}-2000)=0,90v_{n}[/tex].
[tex]v_{n+1}=0,90v_{n}[/tex], donc [tex](v_{n})[/tex] est une suite géométrique de raison [tex]q=0,90[/tex] et de premier terme [tex]v_{0}=u_{0}-2000=500-2000=-1500[/tex].
4) [tex]v_{n}=v_{0} \times (0,9)^{n}=-1500 \times (0,9)^{n}[/tex].
Donc [tex]u_{n}=v_{n}+2000=-1500 \times (0,9)^{n}+2000[/tex].
5) [tex]u_{n+1}-u_{n}=-1500 \times (0,9)^{n+1}+2000-(-1500 \times (0,9)^{n}+2000)=-1500 \times (0,9)^{n+1}+2000+1500 \times (0,9)^{n}-2000=-1500 \times (0,9)^{n+1}+1500 \times (0,9)^{n}=1500 \times (0,9)^{n}(-(0,9)+1)=1500 \times (0,9)^{n} \times 0,1=150 \times (0,9)^{n}[/tex].
Or [tex]150 \times (0,9)^{n}>0[/tex], d'où [tex]u_{n+1}-u_{n} \geq 0[/tex], donc la suite [tex](u_{n})[/tex] est croissante.
6) Avec votre calculatrice, il faut déterminer le plus petit entier naturel [tex]n[/tex], tel que [tex]u_{n} >1900[/tex].
Puis [tex]\lim_{n \mapsto +\infty} u_{n}=\lim_{n \mapsto +\infty} -1500 \times (0,9)^{n}+2000=2000[/tex] car [tex]\lim_{n \mapsto +\infty} 0,9^{n}=0[/tex] (limite d'une suite géométrique de raison [tex]\mid q \mid <1[/tex].
Comme [tex]\lim_{n \mapsto +\infty} u_{n}=2000[/tex], la chaine ne peut dépasser 2000 abonnés, et donc ne peut dépasser les 2100 abonnés.
