Réponse : Exercice 1
1) Vous avez déjà une réponse venant d'une autre personne.
2)a) [tex]f(x)=1,5x^{2}-6\\F(x)=1,5 \times \frac{x^{3}}{3} -6x+C\\F(x)=\frac{x^{3}}{2} -6x+C[/tex].
La primitive [tex]F[/tex] de [tex]f[/tex] telle que [tex]F(0)=1,5[/tex] est:
[tex]F(0)=\frac{0^{3}}{2} -6 \times 0+C=1,5\\C=1,5[/tex], d'où [tex]F(x)=\frac{x^{3}}{2}-6x+1,5[/tex].
b) Pour étudier les variations de [tex]F[/tex], il faut étudier le signe de la dérivée [tex]f[/tex].
On a:
[tex]f(x)=1,5x^{2}-6=1,5(x^{2}-4)=1,5(x-2)(x+2)[/tex].
On a donc:
-∞ -2 2 +∞
x-2 - - Ф +
x+2 - Ф + +
f(x) + Ф - Ф +
F(x) croissante décroissante croissante
Exercice 2
Pour les fonctions [tex]f et g[/tex], utiliser le fait qu'une primitive de [tex]x^{n}[/tex] est [tex]\frac{x^{n+1}}{n+1}[/tex].
c) Une primitive de [tex]h(x)[/tex] est [tex]H(x)=-\frac{1}{x} +2\sqrt{x}[/tex].
d) On a:
[tex]((3x^{2}+3)^{4})'=4 \times 3 \times 2x (3x^{2}+3)^{3}=24x(3x^{2}+3)^{3}[/tex], donc une primitive de [tex]i(x)[/tex] est:
[tex]I(x)=\frac{(3x^{2}+3)^{4}}{4}[/tex].
e) Une primitive de [tex]j(x)[/tex] est:
[tex]J(x)=3 \times \frac{x^{-3+1}}{-3+1} =3 \times \frac{x^{-2}}{-2} =-\frac{3}{2} x^{-2}=-\frac{3}{2} \frac{1}{x^{2}} =-\frac{3}{2x^{2}}[/tex].
f) Une primitive de [tex]k(x)[/tex] est:
[tex]K(x)=\frac{\sin(3x+1)}{3}[/tex].
g) Une primitive de [tex]l(x)[/tex] est:
[tex]L(x)=-\frac{5}{2(x^{2}+1)}[/tex].
Exercice 3
1) Il faut montrer que [tex]F'=f[/tex].
2) Une équation de la tangente à la courbe de[tex]F[/tex] au point d'abscisse 2 est: [tex]y=F'(2)(x-2)+F(2)[/tex].
