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résolu

Bonjour, j'ai un exercice de maths à faire mais je ne parviens pas à le faire:
"La suite (Un) est définie, pour tout entier naturel n, par :
U0=1/2 et Un+1=Un/1+2Un
On admet que, pour tout entier naturel n, Un>0.
1) La suite (Un) est-elle arithmétique ou géométrique ?

2) La suite (Vn) est définie, pour tout entier naturel n, par :
Vn=(1/Un)+1
Calculez les premiers termes de la suite (Vn). Que pouvez vous conjecturer concernant la nature de cette suite ? Démontrez-le.

3) Exprimez Vn puis Un en fonction de n."

-Alors, pour la question 1), j'ai commencé par calculer les premiers termes de la suite (Un) : U1=U0/(1+2U0)=1/4 ; U2=1/6 ; U3=1/8 ; U4=1/10
-J'ai ensuite essayé de voir si c'était une suite arithmétique :
U2-U1=1/6-1/4=-1/12 et U3-U2=1/8-1/6=-1/24
-1/12 n'est pas égal à -1/24 donc cette suite n'est pas arithmétique ; elle est alors géométrique. Or je ne parviens pas à trouver la raison q de cette suite géométrique car de U0 à U1 on multiplie par 1/2, mais de U1 à U2 on multiplie par 6. J'imagine qu'il n'est pas possible que cette suite ne soit ni arithmétique ni géométrique, je ne vois donc vraiment pas comment faire.
-Je ne parviens pas non plus à calculer Un (cela est-il nécessaire pour la 1ère question?) à partir de Un+1 alors que d'habitude j'y arrive

J'espère que vous pourrez m'aider
Merci d'avance

Répondre :

Réponse :

1) J'ai pas vérifié vos calculs, mais il est possible qu'elle soit ni arithmétique ni géométrique. Et d'après la question 3, que j'ai fait ci-dessous, cette suite n'est ni arithmétique, ni géométrique.

2) [tex]V_{n+1}=\frac{1}{U_{n+1}} +1=\frac{1+2U_{n}}{U_{n}} +1=\frac{1+2U_{n}+U_{n}}{U_{n}} =\frac{3U_{n}+1}{U_{n}} =\frac{U_{n}(3+\frac{1}{U_{n}} )}{U_{n}} =3+\frac{1}{U_{n}} =\frac{1}{U_{n}} +1+2=V_{n}+2[/tex].

Donc [tex](V_{n})[/tex] est une suite arithmétique de raison 2.

3) [tex]V_{n}=V_{0}+2n[/tex].

Donc:[tex]V_{n}=\frac{1}{U_{n}} +1\\3+2n=\frac{1}{U_{n}} +1\\3+2n-1=\frac{1}{U_{n}} \\(3+2n-1)U_{n}=1\\U_{n}=\frac{1}{2+2n}[/tex]


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