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Réponse : Bonjour,
1) La fonction racine carrée est définie sur [tex]\mathbb{R}+[/tex], et [tex]|x| \geq 0[/tex], pour tout [tex]x \in \mathbb{R}[/tex].
Donc pour tout [tex]x \in \mathbb{R}, \sqrt{|x|}[/tex] a un sens, donc [tex]f[/tex] est définie sur [tex]\mathbb{R}[/tex].
2) Sur [tex][0;+\infty[, f(x)=\sqrt{x}[/tex]. Or la fonction racine carrée est croissante sur [tex][0;+\infty[[/tex], donc [tex]f[/tex] est croissante sur [tex][0;+\infty[[/tex].
3) Sur [tex]]-\infty;0], f(x)=\sqrt{-x}[/tex].
Prenons [tex]x, y \in ]-\infty;0][/tex], tel que [tex]x < y[/tex].
Alors:
[tex]x < y\\-x > -y \quad car \: la \: droite \: d'equation \: y=-x \: est \: decroissante \: sur \: ]-\infty;0] \\ \sqrt{-x} > \sqrt{-y} \\f(x)>f(y)[/tex].
On a pris [tex]x < y \in ]-\infty;0][/tex], et on a trouvé que [tex]f(x)>f(y)[/tex], la fonction [tex]f[/tex] est donc décroissante sur [tex]]-\infty;0][/tex].
4)a) On prend [tex]M(x;f(x))[/tex], avec [tex]x>0[/tex], d'où [tex]M(x;\sqrt{x} )[/tex]. L'ordonnée du point [tex]M[/tex] est donc [tex]\sqrt{x}[/tex].
b) [tex]x \geq 0[/tex], donc [tex]-x \leq 0[/tex], et en notant [tex]y=-x[/tex], [tex]f(y)=\sqrt{-y} \\f(-x)=\sqrt{-(-x)} \\f(-x)=\sqrt{x}[/tex].
Donc [tex]f(-x)=f(x)[/tex], donc [tex]M'(-x;\sqrt{x})[/tex], le point [tex]M'[/tex] a donc la même ordonnée que [tex]M[/tex].
c) [tex]f(-x)=f(x)[/tex], la fonction est donc paire, donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
5) Il faut tracer la fonction racine carrée sur [tex][0;+\infty[[/tex], et son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
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