Réponse :
Explications étape par étape
a)
[tex]u_{n+1}=0,5u_n+10\\\\v_n=u_n-20\\v_{n+1}=u_{n+1}-20\\\\v_{n+1}=(0,5u_n+10)-20=0,5u_n-10=0,5(u_n-20)\\\\v_{n+1}=0,5v_n\\[/tex]
[tex]u_0=5\quad;\quad v_n=u_n-20\quad\Rightarrow v_0=-15\\[/tex]
La suite [tex]v_n[/tex] est donc géométrique de raison q=0,5 et de premier terme V0=-15
b)
[tex]v_n=(-15)\times0,5^n=-\frac{15}{2^n} \\\\u_n=20-\frac{15}{2^n}\\[/tex]
c)
[tex]\frac{15}{2^{10}} \approx0,0146\quad;\quad u_n=20,0146\\\frac{15}{2^{100}} \approx1,18\times10^{-29}\\\frac{15}{2^{1000}} \approx1,40\times10^{-300}\\\frac{15}{2^{10000}} \approx7,5\times10^{-3010}\quad;\quad u_n\approx20\\\frac{15}{2^{100000}} \approx0\quad;\quad u_n\approx20[/tex]
d)
Quand "n" devient très grand, Un devient presque égal à 20
La limite de Un quand n tend vers l'infini est égale à 20
BONUS
f(x)=x²-4x+1
a=1 ; b=-4 ; c=1
-b/2a=2
==> f(x) = (x-2)² - 3
[tex]f(x) = (x-2)^2 - 3\\f(x)=[(x-2)-\sqrt3][(x-2)+\sqrt3]\\f(x)=[x-(2+\sqrt3)][x-(2-\sqrt3)]\\\\f(x)=0\Leftrightarrow x=2-\sqrt3\quad\text{ou}\quad x=2+\sqrt3[/tex]
