Réponse :Explications étape par étape
f(x)=4xVx+x²-20x f(x) est une somme de fonctions x² a pour dérivée 2x elle est dérivable en 0 et -20x la dérivée =-20 dérivable en 0
il reste à montrer que 4xVx est dérivable en 0
lim qd h tend vers 0 de: [4(0+h)V(0+h)-4*0*V0]/h =4hVh/h=4Vh quand h tend vers cette lim tend vers 0 donc
4xVx est dérivable en 0 et f'(0)=0+0-20=-20
f'(x)=4Vx+(1/2Vx)*4x+2x-20=6Vx+2x-20=2(x+3Vx-10)
Soit g(x)=x+3Vx-10 g(x ) comme f(x) est définie sur [0;+oo[
bornes x=0 g(x)=-10 et xi x tend vers+oo g(x) tend vers +oo
Dérivée g'(x)=1+3/2Vx=(2Vx+3)/2Vx g'(x) est tjrs >0 donc g(x)est croissante
x 0...................................+oo
g'(x)................+.....................
g(x)-10.......croissante..........+oo
D'après le th des TVI g(x)=0 admet une et seule solution qui est x=4
f'(x) a donc le même signe que g(x)
d'où le tableau
x 0 4 +oo
f'(x) .........................-.............0.............+.....................
f(x)0.........décrois...............f(4).........crois.............+oo
f(4)=-32
L'équation de la tangente (T) au point d'abscisse x=1 est donnée ppar la formule y=f'(1)(x-1)+f(1)=......... cela doit être y=-12x-3 fais les calculs
position de Cf par rapport à (T) cela dépend du signe de f(x)-y si c'est >0 Cf est au dessus de (T) et inversement si c'est<0 Cf est en dessous de (T)
on te donne f(x)-(-12x+3)=(Vx -1)²(x+6Vx+3)
le signe de cette expression ne peut pas être<0car (Vx-1)² est un carré donc >0 ou =0 et x+6Vx+3 est une somme de valeurs > ou=0 dont le total est>0
Conclusion la courbe est au dessus de la droite sauf au point d'abscisse x=1 où elle est tangente c'est quand (Vx-1)=0
