Réponse :
Explications étape par étape
1a)
[tex]f(t)=ae^{bt}+120\\f(0)=15\\\\e^0=1\\\Rightarrow f(0)=a+120=15\Rightarrow a=-105\\[/tex]
1b)
[tex]f(t)=-105e^{bt}+120\\f(20)=30\\\Rightarrow-105e^{20b}+120=30\\\Rightarrow105e^{20b}=90\\\Rightarrow e^{20b}=\frac{90}{105}=\frac{6}{7}\\\Rightarrow 20b=\ln(\frac{6}{7})\\\\\Rightarrow b=\frac{\ln6-\ln7}{20}[/tex]
2a)
[tex]f(t)=-105e^{-0,0077t}+120\\\\(e^{u(x)})'=u'(x)e^{u(x)}\\\\f'(t)=(-105)(-0,0077)e^{-0,0077t}=0,8085e^{-0,0077t}\\[/tex]
2b)
Quelque soit t dans [0;55], [tex]e^{-0,0077t}>0[/tex]
f'(t) > 0 et la fonction f est strictement croissante sur [0;55]
de f(0) = 15kg à f(55) = 51,25kg
avec une dérivée de f'(0)=0,8085 à f'(55)=0,53
2c)
Mais quand t augmente, la valeur de la dérivée décroit. Tout ceci indique que le sanglier continue de prendre du poids, mais de moins en moins vite
2d) il faut 53 semaines
pour les méthodes qui ne donnent pas un nombre entier, il faut bien sûr prendre l'entier immédiatement supérieur.
- On peut par l'algorithme de dichotomie chercher une valeur approchée du temps en cherchant la valeur de t telle que f(t)-50 = 0
- On peut déterminer ce temps graphiquement en traçant avec soin le graphe de la fonction ou utiliser un programme de tracé de courbes (voir fichier)
- On peut utiliser l'algorithme suivant:
P=15
T=0
Tant que p<50
T=T+1
P=120-105*exp(-0,0077*t)
Fin tant que
Afficher T
- On peut résoudre
[tex]f(t)=-105e^{-0,0077t}+120=50\\\Rightarrow 105e^{-0,0077t}=70\\\Rightarrow e^{-0,0077t}=\frac{70}{105} =\frac{2}{3}\\\Rightarrow -0,0077t=\ln(\frac{2}{3})\\\Rightarrow t=\ln(\frac{\ln3-\ln2}{0,0077}) \\\Rightarrow t=52,6[/tex]
- On peut aussi soudoyer une copine ou un copain qui connait le résultat ou essayer d'élever un sanglier dans sa salle de bain et le peser tous les dimanches.
