On doit montrer que la fonction f est une fonction affine, c'est-à-dire une fonction de la forme f(x) = ax + b
La fonction proposée semble être de degré 2. Puisque l'énoncé dit qu'elle est affine c'est que les termes en x² doivent disparaître.
Pour le trouver on développe.
f(x) = 2x(2x - 1) - (2x + 3)²
= 4x² - 2x -(4x² + 12x + 9)
= 4x² - 2x - 4x² - 12x - 9
= -14x - 9 fonction affine ( a = -14 ; b = -9)
2) image de -2
on calcule f(-2)
f(-2) = -14(-2) - 9 = 28 - 9 = 19
3) antécédent de 5
on cherche le nombre qui a pour image 5
le nombre x tel que f(x) = 5
pour cela on résout l'équation -14x - 9 = 5
-14x = 14
x = -1
4) on donne à x deux valeurs différentes x₁ et x₂ telles que
x₁ < x₂ et on compare f(x₁) et f(x₂)
si x₁ < x₂ alors -14x₁ > -14 x₂ (changement de sens puisque -14 est négatif)
alors -14x₁ -9 > -14 x₂ -9
alors f(x₁) > f(x₂)
c'est la définition d'une fonction décroissante
(si l'on connaît ce résultat on peut dire que la fonction est décroissante lorsque le coefficient de x (ici -14) est négatif.
5) pour construire la droite d'équation y = -14x - 9 qui représente cette fonction on cherche les coordonnées de deux points.
par ex :
si x = 0 alors y = -9 1er point A(0;-9)
si x = -1 alors y = 14 - 9 ; y = 5 2e point B(-1;5) [trouvé à la 3]
