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résolu

Bonsoir , j'ai déjà posé une question auparavant mais il s'est avéré que je suis en difficulté sur l'exercice 1 , j'ai déjà bien commencé mais voilà 30 minutes que je n'y arrive pas , le voici :


1/Dans un repère orthonormé (O,I,J), on considère les points A (1 ; 1) , B(-2;0) et C (-3;3).

1)Donner en justifiant , la nature du triangle ABC.(voilà ou je bloque le plus je sais qu'il est isocèle mais je ne sais pas comment le justifier)

2)Construire le point D , image du point B par la translation de vecteur 2BA.

3)Calculer les coordonnées du point D.

4)E est le point de coordonnées (-4 ; 6 )
Montrer que les points B,C et E sont alignés.

5)Démontrer que les droites (AC) et (ED) sont parallèles.

6)K est le milieu du segment [ED]
Montrer que ACEK est un parallélogramme.

Alors voilà je sais que sa va être difficile à tout faire mais je vous supplie de m'aider sur au moins quelques questions , merci d'avance.

Répondre :

Réponse :

1) AB² = (- 2 - 1)² + (0 - 1)² = (- 3)² + (-1)² = 9+1 = 10

  BC² = (- 3+2)² + (3 - 0)² = (- 1)² + 3² = 1 + 9 = 10

  AC² = (- 3 - 1)² + (3 - 1)² = (-4)² + 2² = 16 + 4 = 20

On utilise la réciproque du théorème de Pythagore

AB²+BC² = 10 + 10 = 20

AC² = 20

l'égalité  AB² + BC² = AC²  est vérifiée

de plus on a AB = BC

Donc ABC est un triangle isocèle rectangle en B

2) le point D image de B doit être placé dans la même direction et même sens que BA  mais de norme 2 x ||BA||

3) calculer les coordonnées du point D

soit D(x ; y) ⇒ vect(BD) = 2 x vect(BA)

vect(BD) = (x + 2 ; y)

vect(BA) = (1+2 ; 1) = (3 ; 1)

(x+2 ; y) = 2 *(3 ; 1)

⇒ x + 2 = 6 ⇒ x = 4

   y = 2

D(4 ; 2)

4) E(- 4 ; 6)  montrer que les points B, C et E sont alignés

vect(BE) et vect(BC) sont colinéaires s'il existe un réel k tel que :

    vect(BE) = k*vect(BC)

vect(BE) = (- 4 + 2 ; 6) = (- 2 ; 6)

vect(BC) = (- 3+2 ; 3) = (- 1 ; 3)

(- 2 ; 6) = k*(- 1 ; 3)

⇒-k = - 2 ⇒ k = 2

   3k = 6 ⇒ k = 6/3 = 2

On retrouve le même k = 2 ⇒ Les points B, C et E sont alignés

5) démontrer que les droites (AC) et (ED) sont parallèles

vect(ED) et vect(AC) sont colinéaires s'il existe un réel k tel que:

  vect(ED) = k*vect(AC)

vect(ED) = (4+4 ; 2 - 6) = (8 ; - 4)

vect(AC) = (- 3 - 1 ; 3 - 1) = (- 4 ; 2)

(8 ; - 4) = k*(- 4 ; 2)

⇒ 8 = - 4k ⇒ k = - 8/4 = - 2

   - 4 = 2 k ⇒ k = -4/2 = - 2

    2 k = - 3 ⇒ k = - 3/2          

les vecteurs (AC) et (ED) sont colinéaires

Donc  les droites (AC) et (ED) sont parallèles

6) K est le milieu du segment (ED) montrer que ACEK est un parallélogramme

il suffit de montrer que les diagonales (CK) et (EA) se coupent au même milieu

cherchons les coordonnées de K ⇒ x = 0 et y = 8/2 = 4

K(0 ; 4)

milieu de (CK) :  x = -3/2  et y = 7/2

milieu de (EA) :  x = - 4 + 1) /2 = - 3/2 et y = 6+1)/2 = 7/2

Donc ACEK est un parallélogramme              

Explications étape par étape


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