Réponse :
Explications étape par étape
Exercice I
f(x) = 1/x g(x) = 2x-1
Pour étudier la position relative des courbes Cf et Cg, on va chercher le signe de h(x) = f(x)-g(x) sur |R*
h(x)>0 <==> Cf est au-dessus de Cg
h(x)=0 <==> Cf et Cg passent par un même point
h(x)<0 <==> Cf est en dessous de Cg
[tex]h(x)=\frac{1}{x} -(2x-1)=\frac{1}{x} -2x+1=\frac{1-2x^2+x}{x}\\[/tex]
-2x²+x+1 = 0 <==> x=1 ou x=-1/2 (calcul avec Delta = 9)
[tex]h(x)=\frac{-2(x-1)(x+\frac{1}{2})}{x}=\frac{(x-1)(-2x+1)}{x} \\[/tex]
[tex]\left|\begin{array}{c|ccccccccc}x&\infty&&-\frac{1}{2}&&0&&1&&+\infty\\\\x-1&&-&&-&&-&0&+\\-2x+1&&+&0&-&&-&&-\\x&&-&&-&0&+&&+\\\\h(x)&&+&0&-&||&+&0&-\\&&C_f \text{au dessus}&&C_f \text{en dessous}&&C_f \text{au dessus}&&C_f \text{en dessous}\end{array}\right|[/tex]
Voir aussi fichier joint
Exercice II
Toutes les mesures en cm
Volume d'un cube : x³
Volume de l'autre cube : (10-x)³
(a-b)³=(a-b)(a-b)²=(a-b)(a²-2ab+b²)
(a+b)³=a³-2a²b+ab²-a²b+2ab²-b³
(a+b)³=a³-3a²b+3ab²-b³
Volume total : V(x)=x³+(10-x)³
V(x)=x³ + 1000-300x+30x²-x³
V(x) = 30x²-300x+1000
On cherche la dérivée de la fonction V
V'(x)=60x-300
Cette dérivée s'annule pour x=5, est négative pour x<5 et positive pour x>5
V(x) passe donc par une valeur minimum en x=5 : V(5)=250cm³
Les deux cubes sont de même dimension (arête = 5cm)
Exercice III
f(x) = ax³+bx²+cx+d
On en déduit :
f'(x) = 3ax²+2bx+c
condition 1 ==> f(0) = 20
condition 2 ==> f'(0) = 0
conditions 3 ==> f(1) = 18 et f'(1) = 3
c1 ==> d=20
c2 ==> c=0
c3a ==> a+b+c+d=18
c3b ==> 3a+2b+c=3
c1 et c2 ==> c3a : a+b = -2 c3b : 3a+2b=3
b=-2-a
3a+2(-2-a)=3
a=7
b=-9
f(x)=7x³-9x²+20
Voir aussi fichier joint
Exercice IV
[tex]f(x)=\sqrt x\\[/tex]
point A(3,2) point B(15;4)
La droite AB d'équation y=ax+b est telle que 2=3a+b et 4=15a+b
==> 2 = 12a ==> a=1/6
==> b=3/2
Son équation est donc y=1/6 x + 3/2
La dérivée de f(x) est :
[tex]f'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}[/tex]
Elle prend la valeur 1/6 pour x=9
f(9)=3
Pour x=9, la droite AB passe à l'ordonnée 9/6+3/2=3/2+3/3=3
Le point C(9;3) est donc bien le point commun à la courbe et à la droite AB dont le coefficient directeur est égal à la valeur de la dérivée en ce point. La droite AB est donc la tangente à la courbe en C
