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Réponse : Bonjour,
Partie B: Etude d'une famille de fonctions
1)a) [tex]f_{0}(x)=(x+1)e^{0x}=x+1[/tex], donc [tex]f_{0}[/tex] est une fonction affine.
b) On résout l'équation [tex]f_{0}(x)=f_{1}(x)[/tex], donc:
[tex]x+1=(x+1)e^{x}\\e^{x}=\frac{x+1}{x+1}\\e^{x}=1\\\ln(e^{x})=\ln(1)\\x=0[/tex].
Donc l'abscisse du point d'intersection est 0. Calculons son ordonnée:
[tex]f_{0}(0)=0+1=1[/tex].
Donc le point d'intersection de [tex]\mathcal{C}_{0}[/tex] et [tex]\mathcal{C}_{1}[/tex] a pour coordonnées [tex](0;1)[/tex].
2)a) On résout tout d'abord [tex]x+1>0[/tex], ce qui donne [tex]x>-1[/tex]. Par complémentarité, [tex]x+1<0[/tex] si [tex]x<-1[/tex].
On résout ensuite l'inéquation [tex]e^{x}-1>0\\e^{x}>1\\\ln(e^{x})> \ln(1) \quad car \: \ln \: est \: croissante\\x > 0[/tex]. Par complémentarité, [tex]e^{x}-1<0[/tex], si [tex]x<0[/tex].
On obtient le tableau de signes suivant:
x [tex]-\infty[/tex] -1 0 +∞
x+1 - Ф + +
[tex]e^{x}-1[/tex] - - Ф +
(x+1)[tex](e^{x}-1)[/tex] + Ф - Ф +
b) On a:[tex]f_{k+1}(x)-f_{k}(x)=(x+1)e^{(k+1)x}-(x+1)e^{kx}\\f_{k+1}(x)-f_{k}(x)=(x+1)e^{kx}e^{x}-(x+1)e^{kx}\\f_{k+1}(x)-f_{k}(x)=e^{kx}(e^{x}(x+1)-(x+1))\\f_{k+1}(x)-f_{k}(x)=e^{kx}(x+1)(e^{x}-1)[/tex].
c) [tex]e^{kx} \geq 0[/tex] pour tout [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] et pour tout entier [tex]k[/tex].
Donc [tex]f_{k+1}(x)-f_{k}(x)[/tex] est du signe de [tex](x+1)(e^{x}-1)[/tex] pour tout [tex]x \in \mathbb{R}[/tex].
Et donc d'après la question précédente, [tex]f_{k+1}(x)-f_{k}(x) \geq 0[/tex] sur [tex]]-\infty;-1]\cup [0;+\infty[[/tex], donc sur cet union d'intervalles, la courbe [tex]\mathcal{C}_{k+1}[/tex] est au dessus de la courbe [tex]\mathcal{C}_{k}[/tex].
Sur l'intervalle [tex][-1;0], f_{k+1}(x)-f_{k}(x) \leq 0[/tex], donc sur cet intervalle la courbe [tex]\mathcal{C}_{k+1}[/tex] est en dessous de la courbe [tex]\mathcal{C}_{k}[/tex].
3) On a:
[tex]f'_{k}(x)=1 \times e^{kx}+ke^{kx}(x+1)=e^{kx}(1+k(x+1))[/tex].
[tex]e^{kx} \geq 0[/tex] pour tout [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] et pour tout entier [tex]k[/tex], donc [tex]f'_{k}[/tex] est du signe de [tex]1+k(x+1)[/tex].
Si [tex]k>0[/tex], alors:
[tex]1+k(x+1)>0\\k(x+1)>-1\\x+1>-\frac{1}{k} \quad car \: k>0\\x>-\frac{1}{k}-1\\ x> \frac{-1-k}{k}\\ x> -\frac{1+k}{k}[/tex].
Donc [tex]f'_{k} \geq 0[/tex], pour tout [tex]x> -\frac{1+k}{k}[/tex], et par complémentarité, [tex]f'_{k} \leq 0[/tex], pour tout [tex]x< -\frac{1+k}{k}[/tex].
Donc [tex]f_{k}[/tex] est croissante sur l'intervalle [tex]]-\frac{1+k}{k};+\infty[[/tex] et décroissante sur l'intervalle [tex]]-\infty;-\frac{1+k}{k}[[/tex], [tex]k \ne 0[/tex].
Si [tex]k<0[/tex], alors:
[tex]1+k(x+1)>0\\k(x+1)>-1\\x+1<-\frac{1}{k} \quad car \: k<0\\x< -\frac{1}{k}-1\\x< \frac{-1-k}{k}\\x<-\frac{1+k}{k}[/tex].
Par complémentarité, [tex]1+k(x+1)<0[/tex] si [tex]x>-\frac{1+k}{k}[/tex].
Donc [tex]f'_{k}(x) \geq 0[/tex] sur l'intervalle [tex]]-\infty;-\frac{1+k}{k}[[/tex] et [tex]f'_{k}(x) \leq 0[/tex] sur l'intervalle [tex]]-\frac{1+k}{k};+\infty[[/tex].
On en déduit que [tex]f'_{k}[/tex] est croissante sur l'intervalle [tex]]-\infty;-\frac{1+k}{k}[[/tex] et décroissante sur l'intervalle [tex]]-\frac{1+k}{k};+\infty[[/tex], [tex]k \ne 0[/tex].
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