Bonjour,
Partie II
Partie A
1)
x -π/2 π/2
sin(x) -1 croissante 1
sin(x) est strictement croissante sur cet intervalle.
⇒ Pour tout a et b ∈ [-π/2 ; π/2], a ≠ b ⇒ sin(a) ≠ sin(b)
⇒ sin(x) est injective
Réciproquement, pour tout y ∈ [-1 ; 1], il existe x ∈ [-π/2 ; π/2] tel que y = sin(x).
⇒ sin(x) est surjective
injective et surjective ⇒ bijection de [-π/2 ; π/2] sur [-1 ; 1]
On peut aussi écrire :
sin(x) est continue et strictement croissante sur [-π/2 ; π/2].
On peut dire d'après le théorème des fonctions réciproques :
f([-π/2 ; π/2)] = [f(-π/2) ; f(π/2)] = [-1 ; 1]
donc f établit une bijection de [-π/2 ; π/2] sur [-1 ; 1].
2) arcsin(x) est la fonction qui à un réel quelconque appartenant à [-1 ; 1] associe l'unique réel y exprimé en radians appartenant à [-π/2 ; π/2] dont le sinus vaut x.
Soit : arcsin(x) = y tel que sin(y) = x avec x ∈ [-1 ; 1] et y ∈ [-π/2 ; π/2]
. Pour x ∈ [-1 ; 1], sin(Arcsin(x)) = x
. Pour x ∈ [-π/2 ; π/2], Arcsin(sin(x)) = x
. Pour x ∈ [-1 ; 1], cos(Arcsin(x)) = ??
cos²(u) + sin²(u) = 1
⇒ cos²(u) = 1 - sin²(u)
en posant : u = Arcsin(x),
cos²(Arcsin(x)) = 1 - sin²(Arcsin(x))
cos²(Arcsin(x)) = 1 - x²
⇒ cos(Arcsin(x)) = √(1 - x²)
3)
Arcsin est définie et continue sur [-1 ; 1], croissante sur cet intervalle.
x -1 1
Arcsin(x) -π/2 croissante π/2
4) ci-dessous
5) La dérivée de sin(x) vaut cos(x) et cos(x) ne s'annule pas sur [-π/2 ; π/2]
⇒ Arcsin(x) est dérivable sur ]-1 ; 1[
Formule dérivée d'une fonction g réciproque de f : g'(y) = 1/f'(g(y))
⇒ [Arcsin(x)]' = 1/cos[Arcsin(x)] = 1/√(1 - x²)
Partie B
Quasiment identique...
5) (Arccos(x))' = -1/√(1 - x²)
Partie C
Arcsin(x) + Arccos(x) = π/2 ??
On a : cos(π/2 - Arcsin(x)) = sin(Arcsin(x)) = x (cos(π/2 - a) = sin(a))
et cos(Arccos(x)) = x
Donc : π/2 - Arcsin(x) = Arccos(x)
