Répondre :
1)
• Par le calcul.
Pour tout t réel de l’intervalle d’étude on a par développement :
h(t)=(−5t−1,35)(t−3,7)=−5t2 +5t×3,7−1,3t+1,35×3,7 = −5t2 +18,5t−1,35t+4,995
= −5t2 +17,15t+4,955
L’affirmation 1 est donc fausse
• Par une lecture graphique (et calcul).
h(t)=(−5t−1,35)(t−3,7)=−5t2 +5t×3,7−1,3t+1,35×3,7 = −5t2 +18,5t−1,35t+4,995
= −5t2 +17,15t+4,955
Une lecture graphique permettait aussi de répondre à la question, il suffisait de lire l’image de 0 par h, on avait alors juste
une valeur approchée du résultat mais cela était suffisant :
h(0) ≈ 5 > 0
Or l’image de 0 par la fonction proposée donne une valeur négative, ce qui n’est pas possible.
En effet pour x = 0 on a :
−5t2 −19,85t−4,995=5×02 −19,85×0−4,995 = −4, 999 < 0
2)
Lorsqu’il quitte la rampe, Gaëtan est à 3,8 m de hauteur.
La hauteur de Gaëtan lorsqu’il quitte la rampe est donnée par h(0), l’image de 0 par la fonction h. • Par le calcul.
Or on a facilement à l’aide de l’expression initiale de h
L’affirmation 2 est donc fausse.
h(0) = (−5 × 0 − 1, 35)(0 − 3, 7) h(0) = −1, 35 × (−3, 7)
h(0) = 4,955 ̸= 3,8
Remarque : On pouvait bien sûr utiliser la forme développée, cela était plus rapide mais dépendant du résultat du calcul précédent, il y a toujours un risque !
• Par une lecture graphique.
Une lecture graphique permettait aussi de répondre à la question, il suffisait de lire l’image de 0 par h, on avait alors juste une valeur approchée du résultat mais cela était suffisant :
h(0) ≈ 5 ̸= 3, 8
3)
Le saut de Gaëtan dure moins de 4 secondes.
La durée du saut correspond à l’instant où la hauteur h(t) vaut 0. Cela correspond à l’instant où la moto touche le sol donc à l’abscisse du point d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses. C’est aussi à une solution positive de l’équation h(t) = 0.
• Par une lecture graphique.
Sur le graphique, on peut lire une valeur approchée de l’abscisse du point B, point d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses qui est une solution de l’équation h(t) = 0 ou aussi un antécédent de 0 par h. On obtient
xB ≈3,7
La courbe coupe l’axe des abscisses avant 4, la moto touche le sol avant 4 secondes, donc le saut dure moins de 4
secondes. L’affirmation 3 • Par le calcul, méthode 1.
est
On va chercher à résoudre l’équation h(t) = 0, pour t réel positif.
donc
vraie.
Théorème 1
Un produit de facteurs est nul, si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul.
h ( t ) = 0 ⇐⇒ ( − 5 t − 1 , 3 5 ) ( t − 3 , 7 ) = 0 C’est une équation produit nul, donc par théorème :
h(t)=0⇐⇒(−5t−1,35=0) ou (t−3,7=0) h(t)=0⇐⇒(t= 1,35 =−0,27) ou (t=3,7)
−5
Les solutions de l’équation sont donc :
−0,27 et 3,7
La seule solution possible cependant est la solution positive car t est une durée exprimée en secondes. La durée du saut est donc de 3, 7 s, elle est bien inférieure à 4 s, l’affirmation 3 est bien correcte.
• Par le calcul, méthode 2.
On pouvait aussi calculer l’image de 4 par la fonction h qui n’est en fait définie que pour t réel positif tel que h(t) ≥ 0. On a :
h(4) = (−5 × 4 − 1, 35)(4 − 3, 7) = −6, 405 < 0 Puisque h(4) < 0, la durée du saut est bien inférieur à 4 secondes.
4)
Le nombre 3,5 est un antécédent du nombre 3,77 par la fonction h.
Affirmer que 3,5 est un antécédent du nombre 3,77 par la fonction h c’est dire que l’image de 3,5 par h est 3,77. On va donc déterminer cette image.
• Par le calcul.
On calcul l’image de 3, 5 par h pour vérifier si c’est bien 3, 77.
h(3, 5) = (−5 × 3, 5 − 1, 35)(3, 5 − 3, 7) h(3, 5) = −18, 83 × (−0, 2)
h(3, 5) = 3, 77
L’image de 3, 5 par h est bien h(3, 5) = 3, 77 donc 3,5 est un antécédent du nombre 3,77 par la fonction h. L’affirmation 4 est vraie.
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