f(x) = ax² + bx + c a ≠ 0 (on veut déterminer a, b et c)
forme canonique
f(x) = a(x - α)² + β ou α et β sont les coordonnées du sommet
une équation de la parabole est :
(1) y = ax² + bx + c
l'abscisse du sommet est -b/2a
a)
S(2 ; 3) A(0 ; -1)
quand on connaît les coordonnées du somme on utilise la forme canonique
f(x) = a(x - α)² + β
on remplace α et β par les coordonnées de S
f(x) = a(x - 2)² + 3
équation de la parabole
y = a(x - 2)² + 3
on écrit que la point A(0;-1) est une solution de cette équation
-1 = a(-2)² + 3 ; -1 = 4a + 3 ; 4a = -4 ; a = -1
d'où la fonction
f(x) = a(x - 2)² + 3
f(x) = -(x²-4x + 4) + 3
f(x) = -x² + 4x -1
b)
A(-2;0) B(1;0) C(0;2)
on utilise l'équation de la parabole
y = ax² + bx + c
A est sur P : 0 = 4a -2b + c (2)
B est sur P : 0 = a + b + c (3)
C est sur P : 2 = c
on remplace c par 2 dans (2) et (3)
on obtient un système de deux équations à deux inconnues
4a - 2b + 2 = 0 et a + b + 2 = 0 (on divise par 2 les deux membres de la première équation)
2a - b + 1 = 0 et a + b + 2 = 0 (on additionne membre à membre)
3a + 3 = 0 d'où a = -1 (on calcule b dans la deuxième équation)
b = -1
réponse : f(x) = -x² -x + 2
3)
O(0;0) A(3;1)
l'axe de symétrie passe par (1;0) le sommet se trouve sur l'axe de symétrie et a donc pour abscisse 1 S(1;y)
y = ax² + bx + c
P passe par l'origine (0;0) : c = 0
y = ax² = bx
P passe par le point A(3;1) : 9a + 3b = 1
l'abscisse du sommet est 1, or cette abscisse vaut -b/2a (-b/2a = 1)
d'où le système 9a + 3b = 1 et b = -2a
on remplace 3b par -2a dans la première équation
9a - 6a = 1 ; 3a = 1 ; a = 1/3 (et b = -2/3)
f(x) = 1/3x² -2/3x
(ils on fait une erreur en appelant A deux points différents)
