Réponse : Bonjour,
On pose [tex]z=a+ib[/tex].
On a:
[tex]Z=\frac{a+ib+1}{a+ib-1}=\frac{(a+ib+1)(a-1-ib)}{(a-1+ib)(a-1-ib)}=\frac{a^{2}-a-aib+iba-ib-i^{2}b^{2}+a-1-ib}{(a-1)^{2}-(ib)^{2}}=\frac{a^{2}-a-ib+b^{2}+a-1-ib}{a^{2}-2a+1+b^{2}}=\frac{a^{2}-a+b^{2}+a-1+i(-b-b)}{a^{2}-2a+1+b^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}-1-2bi}{a^{2}+b^{2}-2a+1}=\frac{a^{2}+b^{2}-1}{a^{2}+b^{2}-2a+1}-\frac{2b}{a^{2}+b^{2}-2a+1}i[/tex].
Donc [tex]Z[/tex] est imaginaire pur si et seulement si :
[tex]a^{2}+b^{2}-1=0\\a^{2}+b^{2}=1\\(a-0)^{2}+(b-0)^{2}=1^{2}[/tex].
Donc l'ensemble des points d'affixe [tex]z[/tex] tel que [tex]Z=\frac{z+1}{z-1}[/tex] est imaginaire pur est le cercle de centre [tex]O(0;0)[/tex] et de rayon 1.
