Réponse :
Explications étape par étape
■ f(x) = 18 Ln(x) - x² + 16x - 15 avec 0,5 < x < 25 .
■ 1°) f ' (x) = 18/x - 2x + 16 = 18/x - 2x²/x + 16x/x
= (-2x² + 16x + 18) / x .
■ 2°) f ' (x) = 2 (9-x) (x+1) / x
cette dérivée est positive pour x = 1
donc la fonction f est croissante pour 0,5 < x < 9 ;
puis décroissante pour 9 < x < 25 .
■ 3a) f(1) = 0 signifie que la production
d' une centaine de panneaux
ne rapporte aucun Bénéfice à l' Entreprise !
■ 3b) f(18) = 1,0266 ; f(19) = -19 ; f est décroissante
donc il existe bien une valeur α ( proche de 18 )
pour laquelle on aura f(α) = 0 .
α ≈ 18,05388
--> arrondi au centième : α ≈ 18,05 .
( correspond à une produc de 1805 panneaux )
■ 3c) tableau :
x --> 0,5 1 9 18,o5 25
f ' (x) -> + 0 -
f(x) --> -19,7 - 0 + 87,55 + 0 - -182
■ 4°) intervalle de rentabilité :
il faut produire entre 100 et 1805 panneaux !
■ 5°) Bénéf 100 000 € = 100 k€ possible ? :
le Bénéf MAXI possible de 87550 €uros
est obtenu pour une produc de 900 panneaux !
