Réponse :
f (x) = (4 x - 3)/(2 x + 7)
1) déterminer la ou les valeurs de x pour lesquelles la fonction f n'est pas définie
2 x + 7 = 0 ⇒ x = - 7/2 f n'est pas définie
l'ensemble de définition est : ]- ∞ ; - 7/2[U]- 7/2 ; + ∞[
2) la courbe C passe t-elle par le point d'origine du repère
pour que la courbe passe par le point d'origine il faut x = 0 et y = 0
or pour pour x = 0 ⇒ y = -3/7 ≠ 0
Donc la courbe (C) ne passe pas par l'origine
3) montrer que la fonction f peut être définie par l'expression
f(x) = 2 - 17/(2 x + 7)
f(x) = (4 x - 3)/(2 x + 7)
= (4 x + 14 - 17)/(2 x + 7)
= 4 x + 14)/(2 x + 7) - 17/(2 x + 7)
= 2(2 x + 7)/(2 x + 7) - 17/(2 x + 7)
= 2 - 17/(2 x + 7)
4) a) dresser le tableau de signe de f sur son ensemble de définition et en déduire l'ensemble solutions de l'inéquation f(x) ≥ 0
x - ∞ - 7/2 3/4 + ∞
4 x- 3 - - 0 +
2 x + 7 - || + +
f(x) + || - 0 +
l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) ≥ 0 est :
S = ] - ∞ ; - 7/2[ et [3/4 ; + ∞[
b) résoudre l' inéquation f(x) < 2. Que peut-on en déduire pour la courbe C
f(x) = 2 - 17/(2 x + 7) < 2 ⇔ - 17/(2 x + 7) < 0 ⇔ S = ] - 7/2 ; + ∞[
On en déduit que f(x) = 2 est une asymptote horizontale
c) résoudre l'équation f(x) = 3
f(x) = 2 - 17/(2 x + 7) = 3 ⇔ f(x) = 1 + 17/(2 x + 7) = 0
⇔ 2 x + 7 + 17)/(2 x + 7) = 0
⇔ 2 x + 24 = 0 ⇒ x = - 24/2 = - 12
Explications étape par étape