Réponse :
à l' étape n = 8 , on aura utilisé 126 des 144 cartes !
Explications étape par étape :
■ encore le classique château de cartes !
■ soit " n " l' étape de construction du château ,
on a alors utilisé 1,5 n² + 3,5 n + 2 cartes !
■ factorisons :
Un = 1,5 n² + 3,5 n + 2 = (n+1) (1,5n + 2) ♥
■ Uo = 2 cartes ; U1 = 7 cartes ; U2 = 15 cartes ;
U3 = 4 * (4,5 + 2) = 4 * 6,5 = 26 cartes !
■ Un+1 = (n+2) * (1,5n + 3,5)
= 1,5n² + 6,5n + 7
= 1,5n² + 3,5n + 2 + 3n+5
donc Un+1 = Un + 3n+5 .
■ résolvons :
1,5n² + 3,5n + 2 = 144 cartes
1,5n² + 3,5n - 142 = 0
la solution positive est voisine de 8,6
--> on retient donc n = 8 .
■ vérif avec n = 8 :
U8 = 9 * (1,5*8 + 2) = 9 * 14 = 126 cartes !
( U9 donnerait 155 cartes ! )
■ conclusion :
c' est bien à l' étape n = 8
qu' on aura utilisé 126 des 144 cartes !
