Hypothèses : BM = 1/2 AB et AN = 3 AD
1)
a) CM = CB + BM (Chasles)
= BM - BC (CB = -BC)
= 1/2 AB - BC
b) CN = CD + DA + AN (Chasles)
= -DC - AD + 3 AD
= 2 AD - DC
2) on vient de montrer que
(1) CM = 1/2 AB - BC et (2) CN = 2 AD - DC
Si ABCD est un parallélogramme alors AD = BC et DC = AB
on remplace dans (2)
CN = 2 BC - AB
CN = -2(-BC + 1/2 AB) = -2(1/2 AB - BC)
CN = -2 CM
les vecteurs CN et CM sont colinéaires, les droites CN et CM sont parallèles. Comme elles ont en commun le point C elles sont confondues et les points C, M et N sont alignés.
