Réponse : Bonsoir,
1) On a : [tex]|u|=\sqrt{(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1[/tex].
Si [tex]\theta=\arg(u) \: [2\pi][/tex], alors:
[tex]\cos(\theta)=\frac{\frac{1}{2}}{1} \quad \sin(\theta)=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}\\\cos(\theta)=\frac{1}{2} \quad \sin(\theta)=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\theta=\frac{\pi}{3} \; [2\pi][/tex].
Donc [tex]u=e^{i\frac{\pi}{3}}[/tex].
2) [tex]u^{3}=(e^{i\frac{\pi}{3}})^{3}=e^{i\pi}[/tex].
L'écriture de [tex]u^{3}[/tex], sous forme algébrique est:
[tex]u^{3}=e^{i\pi}=\cos(\pi)+i\sin(\pi)=-1+0=-1[/tex].
3) [tex]u^{4}=(e^{i\frac{\pi}{3}})^{4}=e^{i\frac{4\pi}{3}}=\cos(\frac{4\pi}{3})+i\sin(\frac{4\pi}{3} )=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}=-u\\u^{5}=(e^{i\frac{\pi}{3}})^{5}=e^{i\frac{5\pi}{3}}=\cos(\frac{5\pi}{3})+\sin(\frac{5\pi}{3})=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\\-u^{2}=-(e^{i\frac{\pi}{3}})^{2}=-e^{i\frac{2\pi}{3}}=-(\cos(\frac{2\pi}{3})+i\sin(\frac{2\pi}{3})=-(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\\Donc \; u^{5}=-u^{2}[/tex].
4) On a d'après la question 2:
[tex]u^{3}=-1 \Rightarrow u^{6}=(u^{3})^{2}=(-1)^{2}=1[/tex].
Puis en reprenant les résultats de la question 3):
[tex]1+u+u^{2}+u^{3}+u^{4}+u^{5}+u^{6}=1+u+u^{2}-1-u-u^{2}+1=1[/tex].
