Réponse : Bonjour,
a) L'arc CD est issu du cercle de centre A et de rayon [AC] qui est 1.
L'arc DE est issu du cercle de centre B et de rayon BD qui est égal à AB+AD= 1+1=2. En notant [tex]r_{1}=AC[/tex], on a que le rayon BD est égal à [tex]1+r_{1}[/tex].
L'arc EF est issu du cercle de centre C et de rayon CE égal à [tex]1+r_{2}[/tex], en notant [tex]r_{2}[/tex], le cercle de centre B et de rayon BD=BE.
Et ainsi de suite, donc on a pour tout [tex]n \geq 1, r_{n+1}=1+r_{n}[/tex], donc la suite des rayons [tex](r_{n})[/tex] est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme [tex]r_{1}=1[/tex].
b) Chaque arc représente un tiers de cercle, donc au bout de 15 arcs, la courbe obtenue aura fait 5 tours. Et la mesure de chaque arc de cercle que l'on note [tex]l_{n}[/tex], mesure [tex]l_{n}=\frac{2\pi r_{n}}{3}=\frac{2\pi}{3}r_{n}[/tex].
Donc la longueur [tex]L[/tex] de la courbe obtenue en effectuant cinq tours est:
[tex]L=l_{1}+l_{2}+l_{3}+...+l_{15}=\frac{2\pi}{3}r_{1}+\frac{2\pi}{3}r_{2}+\frac{2\pi}{3}r_{3}+...+\frac{2\pi}{3}r_{n}=\frac{2\pi}{3}(r_{1}+r_{2}+r_{3}+...+r_{n})[/tex].
Et comme [tex](r_{n})[/tex] est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme [tex]r_{1}=1[/tex]:
[tex]r_{1}+r_{2}+r_{3}+...+r_{n}=15 \times \frac{r_{1}+r_{15}}{2}\\r_{n}=r_{1} +(n-1) \times 1=1+n-1=n\\r_{15}=15\\Donc \; r_{1}+r_{2}+r_{3}+...+r_{n}=15 \times \frac{1+15}{2}=15 \times 8=120[/tex].
Et donc:
[tex]L=\frac{2\pi}{3}(r_{1}+r_{2}+r_{3}+...+r_{n})=\frac{2\pi}{3} \times 120=2\pi \times 40=80\pi[/tex].
Donc la longueur de la courbe obtenue en effectuant cinq tours est [tex]80\pi[/tex].
