Bonjour,
Partie A
1) lim g(x) en +∞ = lim xeˣ = +∞
2) lim g(x) en -∞ = lim xeˣ - 2 = -2
car lim xeˣ en -∞ = 0 (théorème croissances comparées)
3) de la forme u x v avec u(x) = x + 2 et v(x) = eˣ⁻⁴
soit u'(x) = 1 et v'(x) = eˣ⁻⁴
g'(x) = (u'v + uv')(x) = eˣ⁻⁴ + (x + 2)eˣ⁻⁴ = (x + 3)eˣ⁻⁴
g'x) = 0 ⇒ x = -3
x -∞ -3 +∞
g'(x) - 0 +
g(x) décrois. crois.
Avec g(-3) = -e⁻⁷ - 2 < -2
On a donc :
. lim g(x) en -∞ = -2 et g décroissante sur ]-∞ ; -3[
⇒ g(x) = 0 n'a pas de solution sur cet intervalle.
. g(-3) < 0, lim g(x) en +∞ = +∞ et g croissante sur ]-3 ; +∞[
⇒ il existe une valeur unique α ∈ ]-3 ; +∞[ telle que g(α) = 0
Donc, sur R, g(x) = 0 a une unique solution α
5) on en déduit :
x -∞ α +∞
g(x) - 0 +
Partie B
1) f(x) = 0
⇔ x²(1 - eˣ⁻⁴) = 0
⇒ x = 0 ou eˣ⁻⁴ = 1
⇔ x = 0 ou (x - 4) = ln(1) = 0
Soit x = 0 ou x = 4
2) f'(x) = -xg(x)
on a vu le signe de g(x) sur R : on en déduit le signe de f'(x) et les variations de f :
x -∞ 0 α +∞
-x + 0 - -
g(x) - - 0 +
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) décrois. crois. décrois.
3) D'après ce tableau, f atteint son maximum sur [0 ; +∞[ pour x = α.
Soit f(x) = f(α) = α² - α²e^(α - 4)
on sait que g(α) = 0
Soit : (α + 2)e^(α - 4) - 2 = 0
⇔ e^(α - 4) = 2/(α + 2)
et donc f(α) = α² - 2α²/(α + 2)
⇔ f(α) = [(α + 2)α² - 2α²]/(α + 2) = α³/(α + 2)
