Réponse : Bonjour,
1)a) [tex](\ln(x))'=\frac{1}{x}[/tex], donc [tex]F(x)=\ln(x)[/tex] est une primitive de [tex]f[/tex] sur [tex][1;+\infty[[/tex].
b) Cette aire est égale à :
[tex]\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx=[\ln(x)]_{1}^{2}=\ln(2)-\ln(1)=\ln(2)[/tex].
c) [tex]\int_{1}^{4} f(t) dt=\int_{1}^{4} \frac{1}{t} dt=[\ln(t)]_{1}^{4}=\ln(4)-\ln(1)=\ln(4)=\ln(2^{2})=2\ln(2)[/tex].
L'aire délimité par la courbe C et l'axe des abscisses et les droites verticales [tex]x=1[/tex] et [tex]x=4[/tex] est égale à [tex]2\ln(2)[/tex] unités d'aire.
2)a) [tex]\int_{1}^{9} \frac{1}{t} dt=[\ln(t)]_{1}^{9}=\ln(9)-\ln(1)=\ln(9)=\ln(3^{2})=2\ln(3)\\2 \int_{1}^{3} \frac{1}{t} dt=2[\ln(t)]_{1}^{3}=2(\ln(3)-\ln(1))=2\ln(3)[/tex].
Donc [tex]\int_{1}^{9} \frac{1}{t} dt=2 \int_{1}^{3} \frac{1}{t} dt[/tex].
b) Pour [tex]a >0[/tex], on a que:
[tex]\int_{1}^{a^{2}} \frac{1}{t} dt=[\ln(t)]_{1}^{a^{2}}=\ln(a^{2})-\ln(1)=\ln(a^{2})=2\ln(a)\\2 \int_{1}^{a} \frac{1}{t} dt=2[\ln(t)]_{1}^{a}=2(\ln(a)-\ln(1))=2\ln(a)[/tex].
Et donc pour tout [tex]a>0[/tex]:
[tex]\int_{1}^{a^{2}} \frac{1}{t} dt=2 \int_{1}^{a} \frac{1}{t} dt[/tex]
