Réponse :
Bonjour,
1) voir le fichier xls joint
2)
a)
[tex]u_0=\dfrac{3}{2} \\v_0=-\dfrac{1}{2} \\\\u_{n+1}=\dfrac{3}{2} u_n+\dfrac{1}{2} v_n-1\\\\v_{n+1}=\dfrac{1}{2} u_n+\dfrac{3}{2} v_n+1\\\\a_{n+1}=u_{n+1}+v_{n+1}=\dfrac{3}{2} u_n+\dfrac{1}{2} v_n-1+\dfrac{1}{2} u_n+\dfrac{3}{2} v_n+1=2*(u_n+v_n)=2*a_n\\(a_n)\ est\ g\'eom\'etrique\ de\ raison\ 2\\\\a_0=u_0+b_0=1\\[/tex]
b)
[tex]b_{n+1}=u_{n+1}-v_{n+1}=\dfrac{3}{2} u_n+\dfrac{1}{2} v_n-1-(\dfrac{1}{2} u_n+\dfrac{3}{2} v_n+1)=(u_n-v_n)-2\\=b_n-2\\(b_n)\ est\ arithm\'etique\ de\ raison\ -2.\\b_0=u_0-v_0=2\\[/tex]
c)
[tex]a_n=2^n\\b_n=2-2*n\\\\a_n=u_n+v_n\\b_n=u_n-v_n\\\\u_n=\dfrac{a_n+b_n}{2} \\\\u_n=2^{n-1}-n+1\\\\v_n=\dfrac{a_n-b_n}{2} \\\\v_n=2^{n-1}+n-1\\[/tex]
d)
[tex]S_n=\sum_{k=0}^n\ (2^{k-1}-k+1)\\=\frac{1}{2}(1+2+4+...+2^n)-\dfrac{n(n+1)}{2}+n+1\\\\=2^n+\dfrac{n^2+3n+1}{2}[/tex]
Explications étape par étape
