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1) On se sert du fait que le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes pour simplifier le membre de gauche et l'équation s'écrit donc [tex]\ln(9(x-1))=\ln(-x+2)[/tex], soit [tex]9(x-1)=-x+2[/tex], d'où [tex]\dfrac{11}{10}[/tex].
2) L'inégalite est vraie si et seulement si on a [tex]\ln\left(2\left(\dfrac 13\right)^n\right)\leqslant\ln\left(10^{-4}\right)[/tex], soit en simplifiant [tex]\ln(2)-n\ln(3)\leqslant-4\ln(10)[/tex]. En isolant la lettre [tex]n[/tex] on obtient (en tenant compte du fait que [tex]\ln(3)>0[/tex], que [tex]n\geqslant\dfrac{\ln(2)+4\ln(10)}{\ln(3)}\approx 9,01[/tex], donc il faut [tex]n\geqslant 10[/tex].
3) On pose [tex]f(x)=\dfrac{-x(1+\ln(x))}{\ln(x)}[/tex], fonction qui n'est définie que pour [tex]x>0[/tex] et différent de [tex]1[/tex] (pour que le logarithme soit bien défini et que le dénominateur ne s'annule pas). On a deux facteurs au quotient : [tex]-x[/tex] qui est strictement négatif puisque [tex]x[/tex] est supposé strictement positif, [tex]1+\ln(x)[/tex] qui s'annule pour [tex]e^{-1}<1[/tex] et qui est strictement négatif lorsque on se trouve avant cette valeur, sinon qui est strictement positif, et le dénominateur [tex]\ln(x)[/tex] dont le signe dépend du fait que [tex]x[/tex] soit plus grand ou plus petit que [tex]1[/tex].
On a donc le signe suivant :
- Si [tex]0<x<e^{-1}[/tex], on a : [tex]-x<0[/tex], [tex]1+\ln(x)<0[/tex] et [tex]\ln(x)<0[/tex], donc [tex]f(x)<0[/tex] ;
- [tex]f(e^{-1})=0[/tex] ;
- si [tex]e^{-1}<x<1[/tex], on a [tex]-x<0[/tex], [tex]1+\ln(x)>0[/tex] et [tex]\ln(x)<0[/tex], donc [tex]f(x)>0[/tex] ;
- si [tex]x>1[/tex], on a [tex]-x<0[/tex], [tex]1+\ln(x)>0[/tex] et [tex]\ln(x)>0[/tex], donc [tex]f(x)<0[/tex].
4) [tex]f[/tex] est définie sur [tex]\left]0;1\right[\cup\left]1;+\infty\right[[/tex] et [tex]g[/tex] est définie sur [tex]\left]-\infty;1\right[[/tex]. Les deux fonctions sont dérivables sur leur ensemble de définition et on a [tex]f'(x)=\dfrac{1\times\ln(x)-x\times\dfrac 1x}{\ln(x)^2}=\dfrac{\ln(x)-1}{\ln(x)^2}[/tex] et [tex]g'(x)=\dfrac 2{1-x}[/tex].
Le signe de [tex]f'(x)[/tex] est celui de son numérateur et il est strictement négatif lorsque [tex]0<x<e[/tex] et [tex]x\neq 1[/tex], [tex]f'(e)=0[/tex] et il strictement positif lorsque [tex]x>e[/tex], ce qui donne les variations de [tex]f[/tex] : strictement décroissante sur [tex]\left]0;1\right[[/tex] et sur [tex]\left]1;e\right][/tex] et strictement croissante sur [tex]\left[e;+\infty\right[/tex].
Le signe de [tex]g'(x)[/tex] est toujours le même puisque [tex]1-x>0[/tex], donc il est strictement positif, donc [tex]g[/tex] est strictement croissante sur [tex]\left]-\infty;1\right[[/tex].
Pour les limites, on a [tex]\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)=0[/tex] et [tex]\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty[/tex] (c'est du cours normalement).
Pour les limites en [tex]1[/tex], compte tenu du fait que [tex]x[/tex] est positif et que la limite de [tex]\ln[/tex] en [tex]1[/tex] est nulle, c'est le logarithme qui donne le signe de la limite : lorsque [tex]x<1[/tex], [tex]\ln(x)<0[/tex], donc [tex]\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1 \\ x<1}} f(x)=-\infty[/tex] et lorsque [tex]x>1[/tex], [tex]\ln(x)>0[/tex], donc [tex]\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1 \\ x>1}} f(x)=+\infty[/tex]
Maintenant, pour la fonction [tex]g[/tex], c'est beaucoup plus simple.
Quand [tex]x[/tex] tend vers [tex]-\infty[/tex], [tex]-x+1[/tex] tend vers [tex]+\infty[/tex], donc [tex]\ln(-x+1)[/tex] aussi, et donc comme [tex]-2<0[/tex], on a [tex]\displaystyle\lim_{x\to -\infty} g(x)=-\infty[/tex].
Quand [tex]x[/tex] tend vers [tex]1[/tex], [tex]-x+1[/tex] tend vers [tex]0[/tex], donc [tex]\ln(-x+1)[/tex] tend vers [tex]-\infty[/tex], d'où [tex]\displaystyle\lim_{x\to -\infty} g(x)=+\infty[/tex].
On a [tex]u_0=5\geqslant e[/tex], donc l'inégalité est vraie au rang [tex]n=0[/tex]. Supposons que l'on ait [tex]u_n\geqslant e[/tex], alors compte tenu du fait que [tex]f[/tex] est strictement croissante sur [tex]\left[e;+\infty\right[/tex], on a [tex]f(u_n)\geqslant f(e)[/tex], soit [tex]u_{n+1}\geqslant e[/tex] (on a en effet [tex]f(e)=e[/tex]). Par récurrence, l'inégalité [tex]u_n\geqslant e[/tex] est toujours vraie.
La suite étant à termes >0, on peut calculer [tex]\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac 1{\ln(u_n)}[/tex]. Comme [tex]u_n\geqslant e[/tex], on a [tex]\ln(u_n)\geqslant\ln(e)=1[/tex] par stricte croissance de la fonction [tex]\ln[/tex] et donc [tex]\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\leqslant 1[/tex], ce qui prouve que la suite [tex](u_n)[/tex] est décroissante.
Cette suite est décroissante est minorée, elle est donc convergente de limite [tex]\ell[/tex], de plus la fonction [tex]f[/tex] est continue sur son ensemble de définition, donc par le théorème du point fixe [tex]f(\ell)=\ell[/tex], ce qui donne [tex]\dfrac{\ell}{\ln(\ell)}=\ell[/tex], soit [tex]\ln(\ell)=1[/tex] et donc [tex]\ell=e[/tex].
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