1. a) [tex]T(j\omega)=\dfrac 1{1-j}=\dfrac{1+j}{(1-j)(1+j)}=\dfrac{1+j}{1^{2}-j^{2}}=\dfrac{1+j}2=\dfrac 12+\dfrac j2[/tex]
b) [tex]\rho=\left\vert T(j\omega)\right\vert=\sqrt{\left(\dfrac 12\right)^{2}+\left(\dfrac 12\right)^{2}}=\sqrt{\dfrac 24}=\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 4}=\dfrac{\sqrt 2}2[/tex]
Si [tex]\theta=\mathrm{Arg}(T(j\omega))[/tex], alors :
[tex]\cos(\theta)=\dfrac{\mathrm{Re}(T(j\omega))}\rho=\dfrac{\sqrt 2}2[/tex]
et
[tex]\sin(\theta)=\dfrac{\mathrm{Im}(T(j\omega))}\rho=\dfrac{\sqrt 2}2[/tex]
Donc [tex]\theta=\dfrac\pi4 [2\pi][/tex]
c) Je ne sais pas quelle est ta notation pour la forme trigonométrique (il en existe plusieurs). J'écris : [tex]T(j\omega)=\left[\dfrac{\sqrt 2}2;\dfrac\pi4\right]=\dfrac{\sqrt 2}2e^{\frac\pi4j}[/tex]
2. a) [tex]T(j\omega)=\dfrac 1{1-\frac ju}=\dfrac{u(u+j)}{(u-j)(u+j)}=\dfrac{u^{2}+uj}{u^{2}-j^{2}}=\dfrac{u^{2}+uj}{u^{2}+1}=\dfrac{u^{2}}{u^{2}+1}+\dfrac u{u^{2}+1}j[/tex]
b) Comme [tex]u>0[/tex],
[tex]G(u)=\sqrt{\left(\dfrac{u^{2}}{u^{2}+1}\right)^{2}+\left(\dfrac u{u^{2}+1}\right)^{2}}=\sqrt{\dfrac{u^{2}(u^{2}+1)}{(u^{2}+1)^{2}}}=\dfrac u{\sqrt{u^{2}+1}}[/tex].
Donc :
[tex]\cos(\theta(u))=\dfrac x{G(u)}=\dfrac{\dfrac{u^{2}}{u^{2}+1}}{\dfrac u{\sqrt{u^{2}+1}}}=\dfrac u{\sqrt{u^{2}+1}}[/tex]
et
[tex]\sin(\theta(u))=\dfrac y{G(u)}=\dfrac{\dfrac{u}{u^{2}+1}}{\dfrac u{\sqrt{u^{2}+1}}}=\dfrac 1{\sqrt{u^{2}+1}}[/tex]
c) Il est clair que [tex]x>0[/tex], donc [tex]\theta(u)[/tex] peut être choisi dans [tex]\left]-\dfrac\pi2;\dfrac\pi2\right[[/tex] et donc comme
[tex]\tan(\theta(u))=\dfrac yx=\dfrac{\dfrac u{\sqrt{u^{2}+1}}}{\dfrac{u^{2}}{\sqrt{u^{2}+1}}}=\dfrac 1u[/tex], on en déduit que [tex]\theta(u)=\arctan\left(\dfrac 1u\right)[/tex].
d) [tex]\theta'(u)=-\dfrac 1{u^{2}}\times\dfrac 1{1+\left(\dfrac 1u\right)^{2}}=-\dfrac 1{u^{2}+1}[/tex].
e) On a clairement [tex]\theta'(u)<0[/tex] pour tout [tex]u>0[/tex], donc [tex]\theta[/tex] est strictement décroissante sur [tex]\left]0;+\infty\right[[/tex].
f) Lorsque [tex]u[/tex] tend vers [tex]0[/tex] (par valeurs positives nécessairement), [tex]\dfrac 1u[/tex] tend vers [tex]+\infty[/tex], donc [tex]\theta(u)[/tex] tend vers [tex]\dfrac\pi2[/tex].
Lorsque [tex]u[/tex] tend vers [tex]+\infty[/tex], [tex]\dfrac 1u[/tex] tend vers [tex]0[/tex], donc [tex]\theta(u)[/tex] aussi.
i) On obtient le demi-cercle qui relie les points d'affixes [tex]0[/tex] et [tex]1[/tex] et contenu dans le demi-plan supérieur privé de ses extrémités.
Pour le construire, j'ai fait une demi-droite d'origine (0,0) et passant par (1,0), j'ai placé un point A sur cette demi-droite, puis dans la barre de saisie j'ai tapé B=(x(A)^2/(x(A)^2+1),x(A)/(x(A)^2+1)) et j'ai fait tracé le lieu du point B lorsque A bouge sur la demi-droite.
