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CHADHIROUVIZ
résolu

Bonjour a tous pouvez-vous m'aidé a faire cet exercice s'il vous plait merci
On dit qu'un nombre entier est riche s'il peut s'écrire comme différence des carrés de deux entiers naturels. Par exemple, 27est riche car 27 =6 au carré -3 au carré .

1) Trouver trois exemples d'entiers riches supérieurs à 10 (justifier la réponse)
2) a. Décomposer 76 en produit de facteurs premiers.
b. En déduire le nombre de diviseurs positifs de 76.
c. Justifier que si 76 = a au carré - b au carré avec a et b deux entiers, alors a-b et a +b sont des diviseurs pairs de 76 .
d. Montrer que 76 est riche .
3) Montrer que tout nombre impair est riche
4) Montrer qu'un entier n pair est riche si et seulement si n comporte au moins deux fois le facteur 2 dans sa décomposition en facteurs premiers.
5) Donner la liste des entiers compris entre 0 et 50 qui ne sont pas riches.

Répondre :

TRUDELMICHELVIZ

Réponse :

bonjour

Explications étape par étape

1)

11 = 6²-5²

13=7²-6²

15=8²-7²

2)a)

76=2*2*19

b)

diviseurs de 76

1;2,4,19,38,76

c)

76= 1*76

76=2*38

76=4*19

d)

a²-b²=(a+b)(a-b)

76=a²-b²

76=(a+b)(a-b)

2)

76=4*19

76=2(2*19)

76=2*38

76=(a+b)(a-b)

a+b=38

a-b=2   a=b+2

b+2+b=38

2b+2=38

2b=38-2

2b=36

b=18

a=20

20^2=400

18^2=324

400-324=76

76=20²-18²

3)

soit n un nombre

n=(n)(1)

a+b=n

a-b=1   a=b+1

b+1+b=n

2b+1=n

2b=n-1

b=(n-1)/2

si n impair

n-1 pair

(n-1)/2 existe dans les entiers

donc tout nombre impair est riche

4)

si n a 2 fois x2 dans sa décomposition

alors c'est un multiple de 4

soit n unmultiple de 4

n=4c

n=2( 2c)

a+b=2c

a-b=2  a=b+2

b+2+b=2c

2b+2=2c

2b=2c-2

2b=2(c-1)

b=[2(c-1)]/2

b= c-1

a= c+1

5) sont riches les nombres impairs et les multiples de 4

d'où

sont non riches

1,2,6,10,14;18;22;26;30;34;38;42;46;50

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