[tex]Bonjour;\\\\\\1.\\\\\\f'(x)=(x^4)'-(x^3)'+(x^2)'-\dfrac{3}{4}(x)'+(1)'=4x^3-3x^2+2x-\dfrac{3}{4}\ .\\\\\\2.\\\\\\a.\\\\\\g'(x)=(f'(x))'=(4x^3-3x^2+2x-\dfrac{3}{4})'=4(x^3)'-3(x^2)'+2(x)'+(\dfrac{3}{4})'\\\\\\=4(3x^2)-3(2x)+2=12x^2-6x+2\ .\\\\\\b.\\\\\\\textit{Le descriminant de : }12x^2-6x+2\ est\ :\ \Delta=(-6)^2-4\times12\times2\\\\\\=36-96=-60<0\textit{ ; donc ce trin\^ome ne s'annule pas et il est }\\[/tex]
[tex]\\\\\textit{du signe de son coefficient de second degr\'e : 12}>0\textit{ ; donc g' est strictement}\\\\\\\textit{positive sur }\mathbb R\textit{ ; donc g est strictement croissante sur }\mathbb R\ .[/tex]
[tex]c.\\\\\\g(\dfrac{1}{2})=4\times(\dfrac{1}{2})^3-3\times(\dfrac{1}{2})^2+2\times\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{4}\\\\\\=\dfrac{4}{8}-\dfrac{3}{4}+1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{4}{8}-\dfrac{6}{8}+\dfrac{8}{8}-\dfrac{6}{8}=0\ ;\\\\\\\textit{donc pour }0<x\ ;\ on\ a\ :\ 0=g(0)<g(x)\textit{ car g est croissante ;}\\\\\\et \ de\ m\^eme\ pour\ x<0\ ;\ on\ a\ :\ g(x)<g(0)=0\ .[/tex]
