Bonjour,
f(x) = 10x²e⁻ˣ
Partie A
1) f est de la forme u*v avec :
u(x) = 10x² ⇒ u'(x) = 20x
v(x) = e⁻ˣ ⇒ v'(x) = -e⁻ˣ
⇒ f'(x) = 20xe⁻ˣ - 10x²e⁻ˣ = (20x - 10x²)e⁻ˣ
2) e⁻ˣ > 0 sur R
donc le signe de f'(x) ne dépend que du signe de (20x - 10x²) :
20x - 10x² = 10x(2 - x)
x 0 2 +∞
10x 0 + +
2 - x 2 + 0 -
f'(x) 0 + 0 -
f(x) croiss. décrois.
3)a) f est croissante sur [0,3 ; 0,4] et :
f(0,3) = 10 x 0,3² x e^(-0,3) ≈ 0,66 < 1
f(0,4) = 10 x 0,4² x e^(-0.4) ≈ 1,07 > 1
⇒ il existe un unique α ∈ [0,3 ; 0,4] tel que f(α) = 1
(théorème des valeurs intermédiaires)
b) on trouve : α ≈ 0,38 à 0,01 près
4) f"(x) = 10(2 - 4x + x²)e⁻ˣ
du signe de : x² - 4x + 2
Δ = (-4)² - 4x1x2 = 16 - 8 = 8 = (2√2)²
⇒ 2 racines : x₁ = (4 - 2√2)/2 = 2 - √2
et x₂ = 2 + √2
x 0 x₂ x₁ +∞
f"'(x) + 0 - 0 +
f(x) concave convexe concave
5) F(x) = -10(x² + 2x + 2)e⁻ˣ
F'(x) = -10[(2x + 2) - (x² + 2x + 2)]e⁻ˣ
= -10(-x²)e⁻ˣ
= 10x²e⁻ˣ
= f(x)
⇒ F primitive de f
6) Aire = Somme de x = 0 à x = 12 de f(x)dx
= F(12) - F(0)
= (-1700e⁻¹²) - (-20e⁰)
= 20 - 1700e⁻¹²
≈ 19,990 u.a. à 10⁻³ près
