Bonjour,
Partie A
1) f(x) = ln(x) + 1 - 1/x
a) f'(x) = 1/x + 1/x² = (x + 1)/x² ⇒ f'(x) > 0 sur I = ]0 ; +∞[
⇒ f strictement croissante sur I
b)
lim f(x) quand x → 0⁺ = -∞
f(1) = 0
et f croissante sur I
⇒ f(x) < 0 sur ]0 ; 1[
f(1) = 0
et f(x) > 0 sur ]1 ; +∞[
2)
a) F(x) = (x- 1)ln(x)
⇒ F'(x) = ln(x) + (x - 1)/x = ln(x) + 1 - 1/x = f(x) ⇒ F primitive de f sur I
b) Sur [1 ; +∞{, f(x) ≥ 0 ⇔ F'(x) ≥ 0 ⇒ F croissante sur cet intervalle.
c) F(x) = 1 - 1/e > 0
F(1) = 0
lim F(x) quand x → +∞ = +∞
et F croissante sur [1 ; +∞[
⇒ il existe α ∈ [1 ; +∞{ / F(α) = 1 - 1/e
On trouve : 1,94 < α < 1,95
Partie B
1) h(x) = 0 ⇔ ln(x) = -1 ⇒ x = 1/e ⇒ A(1/e ; 0)
2)
h(x) = g(x)
⇔ ln(x) + 1 - 1/x = 0
⇔ f(x) = 0 ⇒ x = 1 ⇒ Ch∩Cg = P(1 ; 1)
3)
a) A = Intégrale de x = 1/e à x = 1 de (h(x) - g(x))dx
= Intégrale de x = 1/e à x = 1 de -f(x)dx (car f ≤ 0 sur ]0 ; 1]
= -(F(1) - F(1/e))
= F(1/e) - F(1)
= (1/e - 1)ln(1/e) - 0
= 1 - 1/e u.a.
4)a)
At = Int de 1 à t de (h(x) - g(x))dx
= In de 1 à t de f(x)dx
= F(t) - F(1)
= F(t)
= (t - 1)ln(t)
b) At = A
⇒ (t - 1)ln(t) = 1 - 1/e
⇒ t = α
