1. a) [tex]\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OH}\right)=\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)+\left(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OH}\right)=\dfrac\pi2+\dfrac\pi6=\dfrac{2\pi}3\;.[/tex]
b) [tex]\left(\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OB}\right)=-\left(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OD}\right)=-\left(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\right)-\left(\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD}\right)=-\dfrac\pi3-\dfrac\pi2=-\dfrac{5\pi}6\;.[/tex]
c) Comme [tex]AOC[/tex] est isocèle en [tex]O[/tex], [tex]\left(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AO}\right)=-\left(\pi-\left(\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OA}\right)\right):2\;.[/tex]
Or, [tex]\left(\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OA}\right)=2\pi-\left(\dfrac\pi2+\dfrac\pi3+\dfrac\pi2\right)=\dfrac{2\pi}3\;.[/tex]
Donc [tex]\left(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AO}\right)=-\dfrac\pi6\;.[/tex]
d.[tex]\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)+\left(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{CD}\right)\;.[/tex]
Or [tex]\left(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{CD}\right)=\left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)[/tex] par symétrie, et comme les angles aigus d’un triangle rectangle isocèle mesurent [tex]\dfrac\pi4[/tex] radians, ces deux angles mesurent [tex]\dfrac\pi4+\dfrac\pi6[/tex] d’après la question précédente, soit [tex]\dfrac{5\pi}{12}\;.[/tex]
Finalement, [tex]\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)=2\times\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{5\pi}6\;.[/tex]
2) [tex]\left(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{OH}\right)=\left(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AO}\right)+\left(\overrightarrow{AO},\overrightarrow{OH}\right)=\left(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AO}\right)+\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OH}\right)-\pi=-\dfrac\pi6+\dfrac{2\pi}3-\pi=-\dfrac\pi2[/tex], donc les droites [tex](AD)[/tex] et [tex](OH)[/tex] sont perpendiculaires.
